Factorización de polinomios con un coeficiente de 2º grado mayor que $1$

Question

Estoy aprendiendo a factorizar polinomios, pero me cuesta entender el planteamiento cuando el coeficiente de 2º grado es mayor que $1$ .

Por ejemplo, cuando empiezo a factorizar $12k^4 + 22k^3 - 70k^2$ Primero lo desgloso en $2k^2(6k^2 + 11k - 35)$ .

Yo pensaría que querría encontrar dos números que sumen $11$ y tener un producto de $-35$ pero en cambio me dicen que tenemos que multiplicar $-35$ por $6$ por lo que ahora tengo que encontrar dos números que sumen $11$ y tener un producto de $-210$ .

¿Puede alguien ayudarme a entender por qué $-35$ se multiplica por el coeficiente $6$ ? ¿Por qué no es $11k$ también multiplicado por $6$ ?

Answer 1

Que Método AC se reduce a factorizar un polinomio que es $\,\rm\color{#c00}{monic}\,$ (coeficiente de plomo $\color{#c00}{=1})$ como sigue

$$\begin{eqnarray} \rm\: a\:f(x)\:\! \,=\,\:\! a\:(a\:x^2 + b\:x + c) &\,=\,&\!\!\rm\: \color{#c00}{X^2} + b\:X + \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\overbrace{ac,}^{\rm\qquad\ \ \ \ \ {\bf\large\ \ AC-method}}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \ X = a\:x \\ \end{eqnarray}$$

En su caso

$$ {\begin{eqnarray} f \, &\,=\,& \ \ \, 6 x^2+\ 11\ x\,\ -\ \ 35\\ \Rightarrow\,\ 6f\, &\,=\,&\!\,\ (6x)^2\! +11(6x)-210\\ &\,=\,& \ \ \ \color{#c00}{X^2}+\, 11\ X\,\ -\ 210,\,\ \ X\, =\, 6x\\ &\,=\,& \ \ (X+21)\ (X-\,10)\\ &\,=\,& \ (6x+21)\,(6x-10)\\ \Rightarrow\ \ f\:=\: \color{#0a0}{6^{-1}}\,(6f)\, &\,=\,& \ (2x+\,\ 7)\ (3x\,-5)\\ \end{eqnarray}}$$

En el último paso cancelamos $\,\color{#0a0}6\,$ al cancelar $\,3\,$ del primer factor, y $\,2\,$ del segundo.

Si denotamos nuestro algoritmo de factorización por $\,\cal F,\,$ entonces la transformación anterior es simplemente

$$\cal F f\, = a^{-1}\cal F\, a\,f\quad\,$$

Así nos hemos transformado por $ $ conjugación $\,\ \cal F = a^{-1} \cal F\, a\ \,$ el problema de la factorización de polinomios no mónicos en el problema más sencillo de la factorización de polinomios mónicos. La misma idea funciona también para polinomios de mayor grado, véase esta respuesta que también ofrece enlaces a temas relacionados con la teoría de los anillos.

Answer 2

Su método

Supongamos que tenemos algo más sencillo, con un coeficiente cuadrático (" coeficiente principal ") de $1$ como $k^2+2k-35$ . Entonces podríamos esperar ser capaces de factorizarlo con factores cuyos coeficientes principales son también $1$ . Entonces la factorización sería como $\left(k+\square_1\right)\left(k+\square_2\right)$ . Entonces, cuando multipliques las cosas, tendrás $k^2+(\square_1+\square_2)k+\square_1\square_2$ por lo que necesitamos que la suma de los dos números sea $2$ y el producto a ser $-35$ . Como has observado, esto no funciona de la misma manera cuando el coeficiente principal no es $1$ .

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Adaptación del método a este problema

Usted quiere tener en cuenta $6k^2+11k-35$ .

Bien, supongamos que se factoriza con bonitos factores enteros como $\left(\triangle_1k+\square_1\right)\left(\triangle_2k+\square_2\right)$ . Entonces, cuando multipliques las cosas, tendrás $\left(\triangle_1*\triangle_2\right)k^2+(\square_1*\triangle_2+\triangle_1*\square_2)k+\square_1*\square_2$ . Esto significa que los números del triángulo tienen un producto de $6$ los números cuadrados tienen un producto de $-35$ y $\square_1*\triangle_2+\triangle_1*\square_2=11$ .

Podemos suponer que los dos números del triángulo son ambos positivos (basta con tomar el negativo de ambos factores en caso contrario) y que $\triangle_1>\triangle_2$ (por lo demás, basta con intercambiar los dos factores).

Esto nos deja con la siguiente tabla de posibilidades: $$\begin{matrix}\triangle_{1} & \triangle_{2} & \square_{1} & \square_{2} & \square_{1}*\triangle_{2}+\triangle_{1}*\square_{2} & = & 11?\\ 6 & 1 & 35 & -1 & 35*1+6*(-1) & 29 & \text{no}\\ 6 & 1 & -35 & 1 & & -29 & \text{no}\\ 6 & 1 & 7 & -5 & 7*1+6*(-5) & -23 & \text{no}\\ 6 & 1 & -7 & 5 & & 23 & \text{no}\\ 6 & 1 & 5 & -7 & 5*1+6*(-7) & -37 & \text{no}\\ 6 & 1 & -5 & 7 & & 37 & \text{no}\\ 6 & 1 & 1 & -35 & 1*1+6*(-35) & -\text{huge} & \text{no}\\ 6 & 1 & -1 & 35 & & \text{huge} & \text{no}\\ 3 & 2 & 35 & -1 & 35*2+3*(-1) & 67 & \text{no}\\ 3 & 2 & -35 & 1 & & -67 & \text{no}\\ 3 & 2 & 7 & -5 & 7*2+3*(-5) & -1 & \text{no}\\ 3 & 2 & -7 & 5 & & 1 & \text{no}\\ 3 & 2 & 5 & -7 & 5*2+3*(-7) & -11 & \text{no}\\ 3 & 2 & -5 & 7 & & 11 & \text{YES!}\\ 3 & 2 & 1 & -35 & 1*2+3*(-35) & -\text{big} & \text{no}\\ 3 & 2 & -1 & 35 & & \text{big} & \text{no} \end{matrix}$$

Así que la factorización es $6k^2+11k-35=\boxed{(3k-5)(2k+7)}$ .

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Otro método

Ahora, incluso ignorando los negativos, la mesa seguía teniendo $8$ casos reales en él, lo cual es un poco molesto. También se puede factorizar con el teorema del factor . Básicamente, si hay un factor como $\left(k-\dfrac{5}{3}\right)$ Entonces, como $k=\dfrac{5}{3}$ haría que ese factor fuera cero, más vale que todo el polinomio sea cero también. Así que si conoces otra forma de encontrar ceros/raíces del polinomio, puedes usarla para resolver el problema.

Como Battani implícito El fórmula cuadrática es un método que podemos utilizar. Los ceros de la cuadrática son por tanto $$\dfrac{-11\pm\sqrt{11^{2}-4(6)(-35)}}{2(6)}=\dfrac{-11\pm\sqrt{121+840}}{2(6)}$$ $$=\dfrac{-11\pm\sqrt{900+61}}{12}=\dfrac{-11\pm\sqrt{30^{2}+(31-30)(31+30)}}{12}$$ $$ =\dfrac{-11\pm\sqrt{30^{2}+31^{2}-30^{2}}}{12}=\dfrac{-11\pm31}{12}=\dfrac{20}{12}\text{ and }\dfrac{-42}{12}=\dfrac{5}{3}\text{ and }\dfrac{-7}{2}$$

¿Cómo nos ayuda esto a factorizar las cosas? Excepto por una constante, estos deben decirnos los factores ya que encontramos los dos ceros de la cuadrática: $6k^2+11k-35=\square\left(k-\dfrac{5}{3}\right)\left(k-\left(\dfrac{-7}{2}\right)\right)$ . Lo sabemos como para empezar $6k^2$ después de multiplicar, por lo que tenemos $6k^2+11k-35=6\left(k-\dfrac{5}{3}\right)\left(k-\left(\dfrac{-7}{2}\right)\right)$ . Si queremos números enteros agradables en lugar de fracciones, podemos entonces tomar $3$ de la $6$ para el primer factor y el $2$ de la $6$ para el segundo factor, para obtener $\boxed{\left(3k-5\right)\left(2k+7\right)}$ .

Answer 3

Podemos factorizar su ejemplo de la siguiente manera ,firslty, encontrar las raíces de la ecuación de $$6k^{ 2 }+11k-35=0\\ k=\frac { -11\pm 31 }{ 12 } =\frac { 5 }{ 3 } ,\frac { -7 }{ 2 } $$ para que podamos escribirlo

$$2{ k }^{ 2 }\left( 6\left( k-\frac { 5 }{ 3 } \right) \left( k+\frac { 7 }{ 2 } \right) \right) =2{ k }^{ 2 }\left( 3k-5 \right) \left( 2k+7 \right) $$

Answer 4

Para dividir el término lineal de $6k^2 + 11k - 35$ debemos encontrar dos números con producto $6 \cdot -35 = -210$ y la suma $11$ . Son $21$ y $-10$ . Por lo tanto, \begin{align*} 6x^2 + 11k - 35 & = \color{blue}{6}x^2 \color{green}{+ 21}x \color{green}{- 10}x \color{blue}{- 35} && \text{split the linear term}\\ & = 3x(2x + 7) - 5(2x + 7) && \text{factor by grouping}\\ & = (3x - 5)(2x + 7) && \text{extract the common factor} \end{align*} Obsérvese que en la expresión $\color{blue}{6}x^2 \color{green}{+ 21}x \color{green}{- 10}x \color{blue}{- 35}$ el producto del coeficiente cuadrático y la constante es igual al producto de los dos coeficientes lineales cuya suma es el coeficiente lineal de $6x^2 + 11k - 35$ Es decir, $$(\color{blue}{6})(\color{blue}{-35}) = (\color{green}{21})(\color{green}{-10}) = -210$$ Examinemos el caso general. Supongamos que $ax^2 + bx + c$ con respecto a los racionales como $(rx + s)(tx + u)$ . Entonces \begin{align*} ax^2 + bx + c & = (rx + s)(tx + u)\\ & = rx(tx + u) + s(tx + u)\\ & = \color{blue}{rt}x^2 + \color{green}{ru}x + \color{green}{st}x + \color{green}{su}\\ & = \color{blue}{rt}x^2 + (\color{green}{ru} + \color{green}{st})x + \color{blue}{su} \end{align*} Si los coeficientes coinciden, tenemos $a = \color{blue}{rt}$ , $b = \color{green}{ru + st}$ y $c = \color{blue}{su}$ . Obsérvese que el producto de los coeficientes cuadrático y constante es igual al producto de los dos coeficientes lineales cuya suma es $b$ Es decir, $$ac = (\color{blue}{rt})(\color{blue}{su}) = (\color{green}{ru})(\color{green}{st})$$ Así, para dividir el término lineal, debemos encontrar dos números cuyo producto sea $ac$ y cuya suma es $b$ .

Answer 5

Factor $ak^2+bk-c$ (para los fijos $a$ , $b$ y $c$ ) primero encuentra los números con el producto $-ac$ , y suma $b$ . Llame a estos números $d$ y $f$ . ( $df$ = $-ac$ y $d+f$ = $b$ )

$ax^2 + dx + fx - c$ es la forma lineal de las variables.