Que $S$ ser una matriz diagonalizable y $S+5T=I$. Luego demostrar que $T$ también es diagonalizable.

Question

Mi solución:

$S$ Es diagonalizable, así podemos escribir $S=P^{-1}DP$, donde $P$ es una matriz inversible y $D$ es una matriz diagonal.

Ahora $5T=I-S=P^{-1}P-P^{-1}DP=P^{-1}(I-D)P$. Así $T=P^{-1}\frac{1}{5}(I-D)P$. Ya que $I-D$ es también una matriz diagonal, por lo tanto $T$ es diagonalizable.

¿Es correcta mi prueba? ¿Se puede hacer de otra manera? Gracias.

Answer 1

Esta prueba es genial!!!

He aquí otra manera.

Recordemos que una transformación lineal $F:V\to V$ es diagonalizable si y sólo si existe una base de $V$ consta de los vectores propios de a $F$.

En tu caso, tenemos dos transformaciones lineales $S,T:V\to V$ tal que $$ T=\alpha(I-S) $$ donde $\alpha=1/5$. Además, $S$ es diagonalizable entonces existe una base $\{s_1,\dotsc,s_n\}$ $V$ consta de los vectores propios de a $S$. Si $\{\lambda_1,\dotsc,\lambda_n\}$ son los correspondientes autovalores de a $S$, luego $$ Ts_k=\alpha(I-S)s_k=\alpha(s_k-Ss_k)=\alpha(s_k-\lambda_ks_k)=\alpha(1-\lambda_k)s_k $$ Esto demuestra que cada una de las $s_k$ también es un autovector de a$T$, con la correspondiente autovalor $\alpha(1-\lambda_k)$. Es decir, $\{s_1,\dotsc,s_n\}$ es una base de $V$ consta de los vectores propios de a $T$. Por lo tanto $T$ es diagonalizable.

Answer 2

Si un $A$ de la matriz es diagonalizable, entonces $\alpha A$ es, para cada escalar $\alpha$ (fácil). Por lo tanto basta demostrar que $5T$ es diagonalizable. Desde $$ P (5T) P ^ {-1} = P (I-S) P ^ {-1} =-PSP ^ {-1} = D $$ tenemos que $5T$ es similar a una matriz diagonal.