Superficie convexa en que cualquier $ dos puntos a, b$ se pueden unir con una curva de longitud $(\pi/2-\epsilon)|a-b|$

Question

Estoy tratando de resolver un ejercicio en la página 13 del libro Métrica estructuras de Riemann y no de Riemann espacios por Gromov.

La construcción de un cerrado, superficie convexa de $X$ en $\mathbb R^3$ que cualquiera de los dos puntos $a,b\in X$ puede ser acompañado por una curva de $\gamma\subconjunto X$ de longitud $$\ell(\gamma)\le c|a-b| \tag1$$ donde $c<\pi/2$. Aquí $c$ es independiente de $a,b$.

Comentarios

Aquí $|a-b|$ es la norma Euclídea del vector $-b$. El sentido geométrico de la desigualdad (1) es que la superficie no es demasiado retorcido: un error de rastreo de $a$ a $b$ a lo largo de la superficie no tienen que viajar mucho más lejos que si se voló directamente de $a$ a $b$.

Cerrado superficie convexa es, precisamente, el límite de un convexo acotado conjunto.

Gromov llama el valor menor de $c$ para la superficie satisface la por encima de la distorsión de $X$. Otros autores lo llaman la constante de quasiconvexity.

Algunas ideas

• Una esfera tiene la distorsión de $\pi/2$. De hecho, cualquier curva que conecta antipodal puntos (distancia $2r$) tiene una longitud de por lo menos $\pi r$, donde $r$ es el radio.
• Elipsoides no son buenos; se distorsionan más de las esferas. Mira los vértices del eje menor.
• Más generalmente, cada centralmente simétrica de la superficie tiene la distorsión de al menos $\pi/2$. Efectivamente, supongamos que $a\in X$ ser un punto más cercano a la centro de simetría, y $b$ su antípoda. Cualquier curva que conecta $a$ a $b$ se queda fuera de una bola con un diámetro de $ab$, y por lo tanto tiene una longitud de por lo menos $\frac{\pi}{2}|a-b|$.
• Uno puede considerar las curvas cerradas en lugar de las superficies, con la esperanza de conseguir la inspiración de allí. Pero la distorsión de una curva cerrada que no puede ser menor que $\pi/2$; prueba aquí. Es decir, un círculo es el menos distorsionada curva cerrada.
• Entre los no-simétrica de $X$, un candidato natural es el tetraedro regular, pero no funciona. Los ángulos diedros $\alpha=\cos^{-1}(1/3)$ son demasiado pequeños y difíciles de conseguir alrededor de: $c$ no puede ser menos de $1/\sin (\alpha/2) = \sqrt{3}>\frac{\pi}{2}$.
• Minkowski suma de un tetraedro y un ámbito lo suficientemente grandes radio podría funcionar, pero la longitud de las estimaciones de la mirada de miedo.

Mejores ideas?

Answer 1

Cómo sobre un fuerte cono? Supongamos que el cono de la superficie lateral se desenrolla a un sector circular de ángulo de 2 $\theta$ para algunos pequeños positivo de $\theta$. Entonces:

$\bullet$ la base es plana, por lo que cualquier $a,b$ en la base se unen por una línea de longitud $|a-b|$.

$\bullet$ si $a$ es en la base y $b$ en el lado, entonces podemos elegir $\gamma$ para ir en línea recta hacia abajo desde $b$ a el borde y de allí directamente a $a$; si estos dos segmentos tienen las longitudes de $x,y$ a $|a-b| = \sqrt{x^2 - \epsilon(\theta) x y + y^2}$ para algunos $\epsilon(\theta)$ que se aproxima a cero como $\theta \rightarrow 0$, por lo que $\ell(\gamma) = x+y \leq (\sqrt 2 + \delta(\theta)) \, |a-b|$ para algunos pequeños $\delta(\theta)$ que de nuevo tiende a cero a medida que $\theta \rightarrow 0$.

$\bullet$ Finalmente, si $a,b$ son tanto en el lado de la menor de $\gamma$ es un camino que se abre a una línea recta en un sector de ángulo en la mayoría de los $\theta$. En el peor de $a$ y $b$ son de la misma altura, separados por $\psi \leq \theta$ en el desenrollado de cono, y por lo tanto por $(\psi/\theta) \pi$ en una circular la sección transversal del cono sólido. Entonces $$ \ell(\gamma) = \frac {\mathop{\rm sinc} \frac\psi2} {\mathop{\rm sinc} \frac\pi2 \! \frac\psi\theta} |a-b| $$ donde $\mathop{\rm sinc}(x) = \sin(x)/x$. Desde $\mathop{\rm sinc}$ es logarítmicamente convexo hacia arriba, la relación de $\mathop{\rm sinc} \frac\psi2 \big/ \mathop{\rm sinc} \frac\pi2 \! \frac\psi\theta$ es una función creciente de $\psi$, por lo que es maximizada en $\psi = \theta$, donde es igual a $\frac\pi 2\mathop{\rm sinc} \frac\theta2$ $ -$, que es todavía menos de $\pi/2$ para cualquier positivo de $\theta$, por lo que hemos alcanzado $c < \pi / 2$.

Answer 2

La integridad, la añado algunos detalles numéricos a la excelente respuesta por Noam D. Elkies. Vamos a $C$ ser el cono tal que la superficie lateral se desenrolla de un sector circular de ángulo de 2 $\theta$. Hay dos fuentes de distorsión:

• Entre dos puntos en la superficie lateral (en el peor caso: el mismo nivel, diametralmente opuesto). Esto le da $c\ge (\pi/\theta) \sin(\theta/2)$, curva azul de abajo.
• Entre los puntos en la superficie lateral y en la base (en el peor caso: están a la misma distancia desde el borde). Esto le da $c\ge \sqrt{2\pi/(\pi\theta)}$, la curva de color rojo a continuación.

La distorsión es minimizado cuando las curvas se cruzan, $\theta\aprox 0.53378$. Esto se corresponde con el cono de radio $\aprox 0.1675$ en altura $1$; bastante agudo, de hecho.

Esta menos distorsionadas de cono tiene $c\aprox 1.5522 de dólares, superando a la esfera de los cuales $c=\pi/2 \aprox 1.5708$.

Los límites inferiores, para la comparación

• [Gromov] Cada subconjunto de $\mathbb R^n$ con $c<\pi/(2\sqrt{2}) \aprox 1.11$ es contráctiles.
• [Pansu] Cada subconjunto de $\mathbb R^n$ con $c<\frac{\alpha}{2\sin(\alpha/2)}$, $\alpha=\cos^{-1}(-1/n)$, es contráctiles. Para $n=3$ esto evalúa a $\aprox 1.17$.

La estimación de Pansu se encuentra en el Anexo a del mismo libro. No sé de nada mejor cotas inferiores.