Límite $\int_0^1 f(x) dx $ bajo la condición $\int_0^1 f'(x)^2 dx \le 1$

Question

Consejos sobre cómo resolver esto?

Problema 1.1.28 (Fa87) Deje $S$ ser el conjunto de todos los reales $C^1$ funciones $f$ $[0, 1]$ tal que $f(0) = 0$ y

$$\int_0^1 f'(x)^2 dx \le 1 \;. $$

Definir

$$J(f) = \int_0^1 f(x) dx \; .$$

Demostrar que la función de $J$ está delimitada en $S$, y calcular su supremum. Hay una función de $f_0 \in S$ a que $J$ alcanza su valor máximo? Si es así, ¿cuál es $f_0$?

He intentado utilizar de Cauchy-Schwartz y tengo un límite de $\frac23$ pero no parece lo suficientemente fuerte.

Answer 1

Una oportunidad para una solución:

Tenemos por integración por partes: %#% $ de #% y Cauchy-Schwarz que $$J(f)=\int_0^1 (1-t)f^{\prime}(t)dt$ da. Que $|J(f)|\leq \frac{1}{\sqrt{3}}$. Entonces el $f_0(x)=\sqrt{3}(x-\frac{x^2}{2})$ y $f_0^{\prime}(x)=\sqrt{3}(1-x)$. Tenemos $\int_0^1 f_0^{\prime}(t)^2 dt=1$, y hemos terminado.

Answer 2

Otra forma para probar el límite superior es la siguiente. Tenemos, dos veces, Cauchy-Schwarz que $$ \begin{align} \left|\int_{0}^{1}f\left(x\right)dx\right|= & \left|\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}f'\left(t\right)dtdx\right| \\ \leq & \left(\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{x}f'\left(t\right)dt\right)^{2}dx\right)^{1/2} \\ \leq & \left(\int_{0}^{1}x^{2}\int_{0}^{x}f'^{2}\left(t\right)dtdx\right)^{1/2} \\ \leq & \left(\int_{0}^{1}x^{2}dx\right)^{1/2} \\ = & \frac{1}{\sqrt{3}}. \end{alinee el} $$