Que $K$ ser un campo numérico. Supongamos que ordenamos curvas elípticas sobre $K$ por la altura de ingenuo. ¿Cuál es la densidad natural de curvas elípticas sin multiplicación compleja?
Más general, supongamos que ordenamos $g$-variedades abelian dimensional $K$ por la altura de Faltings. ¿Cuál es la densidad natural de estas variedades sin multiplicación compleja?
El natural de la densidad de curvas elípticas con complejo de la multiplicación es 0 (dicen que el orden de los coeficientes A, B y^2 = x^3 + Ax + B). De esta manera se sigue por la Proposición 5 de http://arxiv.org/abs/0804.2166 combinado con Hilbert irreductibilidad:
Desde que la familia de curvas elípticas ha dado por encima de surjective mod-\ell Galois de representación para todos \ell, se sigue de Hilbert irreductibilidad de que una densidad de 1 subconjunto de sus miembros han surjective mod \ell imagen. Entonces, por la Proposición 5, estos miembros han trivial endomorfismo anillo. Esta misma prueba en obras racional familias arbitraria de género con surjective mod \ell Galois representación.
Tenga en cuenta que el supuesto de racionalidad es importante la aplicación de Hilbert irreductibilidad, de modo que la misma prueba no tendrán que pasar por el espacio de moduli de Abelian variedades en el género de más de 7, como el espacio de moduli no es racional (o incluso unirational).
Estoy de acuerdo con Lubin - seguramente la densidad de CM curvas es $0$. No he pensado a través de una prueba de esto, pero creo que se podría probar que mediante el uso de fórmulas asintóticas para el número de todas las curvas, hasta una cierta altura en comparación con una fórmula para el número de CM curvas hasta esa altura. Utilizaría que hay un número finito de CM $j$-invariantes a través de un determinado campo, y el recuento de giros.
Aquí es un documento por el camino con algunos datos, véase la Tabla A. 5. También, hay una discusión en algún lugar de la cantidad de curvas que hay hasta una altura determinada.
Actualización 1. Es cierto que hay muy pocas curvas elípticas sobre un campo de número con CM en comparación con todas las curvas elípticas sobre un campo de número, que contiene el campo $K$ de CM para evitar situaciones triviales, ya que, como se dijo anteriormente, sólo hay finitely $j$-invariantes conectado a $K$. Sin embargo, creo que no es de ninguna manera factible para trabajar con ecuaciones de Weierstrass para acotar el número de curvas con ingenua de altura en la mayoría de las $H$ tener CM por $K$. Por un lado, el número de clase de $K$ se hace muy grande como el discriminante de $K$ va al infinito, y no es de ninguna manera evidente cómo escribir de Weierstrass ecuaciones algebraicas entero coeficientes para las correspondientes curvas elípticas. Además, yo no soy un entusiasta para el estudio de curvas elípticas en esta manera. Yo, personalmente, creo que la única forma en que a fin de curvas elípticas sobre un campo de número es en isogeny clases, ordenado por su conductor, como, por ejemplo, está hecho para curvas elípticas sobre $\mathbb{Q}$ en Cremona libro.
Incluso para los más pequeños conductor de curvas elípticas sobre$\mathbb{Q}$,$11$, hay una curva elíptica en el único isogeny clase con grandes coeficientes.
En caso de interés, vea este breve artículo de Coates en la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, incluyendo algunos de los materiales en la CM el caso.
Update 2. La respuesta que usted recibe depende de cómo, exactamente, frase el problema. La parte superior de mi cabeza, la manera más fácil de proceder, para curvas elípticas sobre un campo de número, sería como sigue.
Si $E$ CM $\mathcal{O}_L$, entonces su $j$-invariante es un entero algebraico, cuyo grado más de $\mathbb{Q}$ es el número de clase de $L$. Existe una variante de este que funciona para $E$ con CM por algo más pequeño que el del anillo de enteros de $L$.
Un crudo consecuencia de la Brauer-Siegel teorema es que, para una determinada enlazado $X$, hay en la mayoría de un número finito de discriminantes $D$ tal que $h(-D)$ es de menos de $X$.
Tomados en conjunto, esto demostraría que a través de un determinado campo de $K$, hay sólo un número finito $j$-invariantes que tiene (potencial) CM. Por supuesto, para cada una de las $j$-invariante, hay infinitamente muchos giros, y entonces usted tiene que decidir cómo contar.
En el extremo opuesto, en términos de sofisticación, no es una conjetura de Edixhoven que espera dar un límite inferior para el campo de módulos de un abelian variedad con CM en términos de la discriminante de su endomorfismo anillo.
Puesto que dos equipos (Andreatta-Goren-Howard-Madapusi Pera, Yuan Zhang) han probado que/están demostrando el promedio de Colmez conjetura, y Tsimerman demostrado que Colmez implica Edixhoven, parece que podemos tener el mismo tipo de finitud resultados para abelian variedades.
F. Andreatta, E. Goren, B. Howard, y K. Madapusi Pera, Faltings alturas de abelian variedades con complejo de multiplicación, arXiv preprint arXiv:1508.00178 (2015).
X. Yuan y S. Zhang. En el Promedio Colmez Conjetura, arXiv preprint arXiv:1507.06903 (2015).
J. Tsimerman. Una prueba de la André-Oort conjetura para $\mathcal{A}_g$, arXiv preprint arXiv:1506.01466 (2015).
No habríamos conocido esto sólo hace un par de años!
COMENTARIO.-Yo quería darle un sucinto comentario sobre el complejo de multiplicación para las personas que no conocen el tema.
Endomorphisms de un entramado $L$ están determinadas por los números de $\alpha$ tal que $\alpha L\subset L$. Al $\alpha$ es un racional entero uno tiene la muy conocida endomorphisms $P\to nP$. Para $\alpha$ no racional y $\alpha L\subset L$, teniendo dos generadores $w_1$ $w_2$ $L$ uno ha de $$\begin{cases}\alpha w_1=aw_1+bw_2\\\alpha w_2=cw_1+dw_2\end {cases}$$ que es la raíz de la irreductible $$x^2-(a+d)x+(ad-bc)=0$$ so $\alfa$ is quadratic; furthermore $$\alpha=c(\frac{w_1}{w_2})+d$$ hence $\alfa$ no puede ser real (este es el origen de la locución "complejo de multiplicación").
Desde el anillo de $A$ endomorphisms está contenida en un imaginario cuadrática campo siempre hay muy pocas automorfismos , correspondiente a las unidades de $A$ $\mathbb C/L$ (el toro de una curva elíptica). Se sabe que
1) Si $A$ no contiene las raíces de $\sqrt{-1}$ ni $\rho=\frac{-1+\sqrt 3}{2}$ el único automorfismos de a $A$ se dan por $\alpha=\pm 1$
2) Si $\sqrt{-1}\in A$ $\alpha\in\{\pm 1, \pm \sqrt{-1}\}$
3) Si $\rho\in A$$\alpha\in\{\pm 1, \pm \rho,\pm \overline \rho\}$.
En general, el anillo de endomorphisms definido a lo largo del $\mathbb C$ de una curva elíptica $E(K)$ donde $K$ es un subcampo de la $\mathbb C$ se identifica a $\mathbb Z$ (por la inyectividad de $P\to nP$) por lo que la curva no ha complejo de multiplicación o se identifica a un sub-anillo (con $\mathbb Z$) del anillo de enteros de un imaginario cuadrática campo en cuyo caso la curva elíptica $E(K)$ tiene complejo de la multiplicación.
Los casos más conocidos de las familias de curvas elípticas con complejo de multiplicación están dadas por $$y^2=x^3+kx,\space k\in\mathbb Z^*\text{ (multiplication by } \sqrt{-1})\qquad (1)\\y^2=x^3+k, \space k\in\mathbb Z^*\text{ (multiplication by } \sqrt{-3})\qquad (2)$$ Los dos campos de $\mathbb Q(\sqrt{-1})$ $\mathbb Q(\sqrt{-3})$ tienen el mismo número de clase igual a $1$. La teoría asegura que para cada imaginario cuadrática campo habiendo número de clase igual a $1$ hay una familia infinita de curvas elípticas con complejo de la multiplicación por $\alpha$ explícito como en $(1)$$(2)$.Además, se sabe que sólo hay nueve de estos campos de $\mathbb Q(\sqrt{-d})$ correspondiente a $$-d=1,2,3,7,11,19,43,67,163$$ Hay información completa acerca de esto en la literatura. Me detengo aquí.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
