¿Por qué es el período de rotación igual para dos estrellas que orbitan el centro de la misma?

Question

En un sistema de estrellas binarias, de dos estrellas, $A$ $B$ siguen órbitas circulares, de radio $R$ $r$ respectivamente, centrada en su centro común de masa $O$. La masa de la estrella de la $A$$M$, y la de la estrella de la $B$$m$. Estoy teniendo problemas con el siguiente problema:

Explicar por qué el período de rotación de la estrella de la $A$ es igual al período de rotación de la estrella de la $B$.

Mediante la Tercera Ley de Kepler, sabemos que $$r^3\propto T^2.$$ En esta pregunta, sin embargo, queremos demostrar que son el mismo. ¿Cómo debo abordar esta pregunta?

Yo sólo aviso de que las dos estrellas están siempre en la línea recta de unirse a ellos y el centro de la $O$.

Answer 1

El centro de masa del sistema binario no se puede mover porque hay no hay fuerzas externas actuando.

La línea que une las dos estrellas siempre debe pasar por el centro de masa, porque por definición el centro de masa se encuentra en la línea entre las dos estrellas.

Esto significa que las dos estrellas deben orbitar con el mismo período. Si sus períodos no eran lo mismo no puede permanecer en los lados opuestos de la OCM.

Answer 2

La tercera ley de Kepler es irrelevante aquí. Se aplica a muchos de los pequeños planetas que orbitan alrededor de una (gran) estrella central, no a un sistema de estrellas binarias.

Si las estrellas tienen masas $m_1$ $m_2$ y los radios de la COM se $r_1$$r_2$, luego de la definición de la COM, $m_1r_1 = m_2r_2$.

El (gravitacional) central de la fuerza de $F$ que actúa sobre cada estrella es la misma, pero el central aceleraciones son diferentes porque las masas son diferentes. Si la radial aceleraciones $a_1$$a_2$,$a_1 = F/m_1$$a_2 = F/m_2$.

Si las velocidades angulares son $\omega_1$$\omega_2$, para órbitas circulares tenemos $a_1 = r_1 \omega_1^2$$a_2 = r_2 \omega_2^2$.

Por lo $\omega_1^2 = a_1/r_1 = F/(m_1r_1)$$\omega_2^2 = F/(m_2r_2)$.

Desde $m_1r_1 = m_2r_2$,$\omega_1 = \omega_2$.

Tenga en cuenta que nosotros hicimos no necesita el uso de Newton de la ley del cuadrado inverso de la gravitación, que es implícita por la tercera ley de Kepler. Sólo necesitamos de Newton tercera ley - es decir, puesto que las dos estrellas que forman un sistema cerrado, las fuerzas internas en las estrellas son iguales y opuestas.

Answer 3

Usted está combinig dos pregunta, yo soy de la combinación de dos respuestas.

El sistema que usted describe consta de dos puntos con las masas. Sabemos que:

• Cada dos puntos de $A$ $B$ estaba en una sola línea;
• Cuando la línea se hace girar alrededor del eje de intersección, todos los puntos de la línea tienen la misma velocidad angular $\omega$, a excepción de la intersección con la a $\omega_0=0$;
• El centro de la masa $C$ de dos puntos que se establece entre ellos, por lo que son colineales.

Así, cuando las estrellas se mueven en cualquier dirección, su velocidad angular, medida en contra de su centro de masa, va a ser el mismo, no importa cómo y por qué se mueven.

Kepler ley se deriva para el sistema binario donde el planeta con masa despreciable orbita alrededor de su estrella y esa estrella es El centro de masa del sistema y sirve para comparar períodos de dos planetas con diferentes distancias de su estrella.