Encontrar todos los números pares que puede representarse como diferencia de cuadrados de dos maneras

Question

Actualmente estoy trabajando en esta prueba. Estoy buscando para encontrar (con prueba) todos los números que pueden ser representados como una diferencia de cuadrados en sólo dos maneras.

Mis pensamientos hasta el momento.

Examiné los primeros 40 números naturales y se encontró que 16, 24, 32, 40 tienen exactamente dos representaciones como una diferencia de cuadrados. Mi reclamo es que todos los números de $x$ que $x=8k+16$ tienen exactamente dos representaciones.

$8k+16=(k+a)^2 - (k+b)^2$ $\rightarrow$ $8k+16=(k+4)^2 - k^2$ que es la primera representación.

Mi idea para encontrar la segunda es la representación para expresar $8k+16$

$8k+16=(ak+b)^2 - (ck+d)^2$

La expansión y el intento de resolver que obtengo:

$$\left.\begin{matrix} a^2 - c^2 = 0\\ 2ab - 2cd= 8\\ b^2 - d^2= 16 \end{de la matriz}\right\}$$

Aquí es donde mi problema surge, $b^2-c^2=(b-c)(b+c)=16=4^2$, me parece no puede pasar de aquí.

Si alguien puede ofrecer una pista de que podría ayudar con mi comprensión del problema y el intento de la prueba, que sería extremadamente útil. Gracias.

Answer 1

Resumen: Como usted sabe, estamos resolviendo $(a-b)(a+b)=n$, con el requisito de lado que $a+b$ (y por lo tanto $a-b$), incluso.

Así $n$ es de la forma $4m$. Si $st=m$, obtenemos la solución de $a-b=2s$, $a+b=2t$. Por lo tanto el número de representaciones es el número de formas para expresar un producto $m$ $st$ $0\lt s\le t$.

Ahora hay un trabajo que hacer. ¿Qué % de números $m$puede expresarse en formas precisamente dos $st$, donde $0\lt s\le t$?

Answer 2

Mi reclamo es que todos los números $x$ que $x=8k+16$ tendrán exactamente dos representaciones.

Contraejemplo:\begin{align} 120 &= 31^2-29^2 \\ &= 17^2 - 13^2 \\ &= 13^2-7^2 \\ &= 11^2-1^2 \end {Alinee el}

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Nota que mientras que sólo tomé un número divisible por $8$ con un montón de factores, la demanda realmente cae en $48$:\begin{align} 48 &= 13^2-11^2 \tag{from (12,1)}\\ &= 8^2 - 4^2 \tag{from (6,2)}\\ &= 7^2-1^2 \tag{from (4,3)}\\ \end {Alinee el} porque $48/4=12$ tiene tres pares de factores.

Answer 3

Tenemos $$2n=a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$ $a-b$, $a+b$ debe ser de la misma paridad, y que la paridad debe ser, incluso, ya que de lo contrario su producto no sería la número $2n$. Por lo tanto $n$ es par, entonces bien podemos tener $$4m=(a-b)(a+b)$$ o $$m=\frac{a-b}{2}\frac{a+b}{2}$$

Por lo tanto, nos factor de $m=st$,$s\le t$, y el conjunto de $\frac{a-b}{2}=s$, $\frac{a+b}{2}=t$, o $a=s+t$, $b=t-s$.

Para$16$,$4=1\cdot 4=2\cdot 2$. Esto conduce a $\{a=5, b=3\}$$\{a=4,b=0\}$.

Para$24$,$6=1\cdot 6=2\cdot 3$.

Para$32$,$8=1\cdot 8=2\cdot 4$.

Parece que el $n$ son de la forma $4pq$ $p,q$ no necesariamente distintos de los números primos, y de la forma $4p^3$. $pq$ ha factorizations $1\cdot pq=p\cdot q$, e $p^3$ ha factorizations $1\cdot p^3=p\cdot p^2$. Es un poco tedioso buscar en varios casos, pero estoy bastante seguro de que todas las demás formas de $n$ tendrá más de dos factorizations, dando lugar a más de dos $\{a,b\}$ pares. También demostrado que no (pero creo que no es demasiado difícil) es que dos diferentes factorizations debe conducir a diferentes $\{a,b\}$ pares.

Answer 4

Como Joffan señaló, su conjetura no es cierto. Aquí está mi intento de encontrar la correcta condición para un entero positivo incluso $n$ a ser representado por una diferencia de cuadrados en exactamente 2 maneras.

Supongamos $n= a^2-b^2=(a+b)(a-b)$. Esto sugiere que factorizations de $n$ puede ser vinculado a las representaciones como una diferencia de cuadrados. Claramente cada representación de $n$ como una diferencia de cuadrados nos da una factorización de $n$. Que factorizations de $n$ nos da una diferencia de cuadrados?

Supongamos $n=xy, x<y$, entonces queremos encontrar $a,b$ tal que $a+b=x,a-b=y$. Llegamos $a=\frac{x+y}{2},b=\frac{x-y}{2}$. Ya que usted dijo que n es par, sabemos que $x,y$ deben ser ambos inclusive.

Por lo tanto, cada factorización de $n$ de manera tal que cada factor es aún nos da una representación de $n$ como una diferencia de cuadrados. Entonces, ¿cómo muchos de esos factorizations no $n$?

En primer lugar, tenga en cuenta que este es igual al número de factorizations (sin restricciones de los factores) de $n/4$. El número de factorizations de cualquier número es el número de factores que número se ha dividido por dos, redondeando hacia arriba (sólo es necesario en el caso de los cuadrados).

No es una buena fórmula para el número de factores de $n/4$ en términos de su descomposición en factores primos. Si $n/4=\Pi_{i=1}^n p_i^{e_i}$ hay $\Pi_{i=1}^n (e_i+1)$ factorizations

Queremos 2 representaciones, y así queremos que 3 o 4 factorizations. Con algunos casos, esto da: $n=4p^2,4p^3,4pq$ $p,q$ prime.

Answer 5

El primer contraejemplo que $8k+16$ no se describe únicamente por una diferencia de cuadrados de dos maneras es $48$.

$$\begin{align}48&=8\cdot4+16\\&=7^2-1^2\\&=8^2-4^2\\&=13^2-11^2\end{align}$$