$e^{\left(\pi^{(e^\pi)}\right)}\;$ or $\;\pi^{\left(e^{(\pi^e)}\right)}$. ¿Que uno es mayor que la otra?

Question

$ $$\large e^{\bigxl(\pi^{(e^\pi)}\bigxr)}\quad\text{or}\quad\pi^{\bigxl(e^{(\pi^e)}\bigxr)}$ $ de \newcommand{\bigxr}[1]{\mathclose{\displaystyle#1$ \newcommand{\bigxl}[1]{\mathopen{\displaystyle#1}}}} ¿Cuál es mayor?

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Esfuerzo. Sé que %#% $ #%

Entonces $$e^\pi\ge \pi^e$ $

Pero no puedo decir $$\pi^{(e^\pi)}\ge e^{(\pi^e)}$ $

o

$$e^{\bigxl(\pi^{(e^\pi)}\bigxr)}\le \pi^{\bigxl(e^{(\pi^e)}\bigxr)}$$

Answer 1

Utilizamos el siguiente hecho en la prueba:

Deje $c > 0$. A continuación,$\ln(x + c) < \ln(x) + c$$x \geq 1$.

Para los métodos de representación de la conveniencia, usamos la notación $f(x) \rightarrow g(x)$ para denotar que $g(x) = \ln f(x)$. Tenemos

$$ e^{\pi^{e^\pi}} \\pi^{e^\pi} \rightarrow e^\pi\ln \pi \a \pi + \ln\ln \pi $$ y $$ \pi^{e^{\color{red}{\pi^e}}} < \pi^{e^{\color{red}{e^\pi}}} \e^{e^\pi}\ln \pi \e^\pi + \ln\ln \pi \a \ln(e^\pi + \ln\ln\pi) < \ln(e^\pi) + \ln\ln\pi = \pi + \ln\ln\pi $$ Por lo tanto, $$ e^{\pi^{e^\pi}} > \pi^{e^{\pi^e}} $$

Answer 2

A partir de $\pi^e\lt e^{\pi}$, tenemos, tomando el logaritmo de dos veces y haciendo un poco trivial de álgebra,

$$\pi^e\lt e^{\pi}\implies e\ln\pi\lt\pi\implies1+\ln\ln\pi\lt\ln\pi\implies\ln\ln\pi\lt\ln\pi-1$$

Utilizaremos los dos extremos de la anterior en el siguiente, que comienza por tomar un logaritmo, luego algunos álgebra trivial y termina por exponentiating dos veces:

$$\begin{align} e\lt\pi&\implies1\lt\ln\pi\\ &\implies e^{\pi}-1\lt(e^{\pi}-1)\ln\pi\\ &\implies e^{\pi}+\ln\pi-1\lt e^{\pi}\ln\pi\\ &\implies\pi^e+\ln\ln\pi\lt e^{\pi}\ln\pi\quad\text{(using }\pi^e\lt e^{\pi}\text{ and }\ln\ln\pi\lt\ln\pi-1)\\ &\implies e^{\pi^e}\ln\pi\lt\pi^{e^{\pi}}\\ &\implies\pi^{e^{\pi^e}}\lt e^{\pi^{e^{\pi}}} \end {Alinee el} $$

Answer 3

Estrictamente es decreciente la función $x^{\frac{1}{x}}$ $x>e$, el máximo es $e^{\frac{1}{e}}$.

Por lo tanto:

$e\le a<b$ => $a^{\frac{1}{a}}>b^{\frac{1}{b}}$ => $a^b>b^a$ => $a^b-1>b^a-1$ => $(a^b-1)\ln b>(b^a-1)\ln a$

=> $b^{a^b-1}>a^{b^a-1}$ => $b^{a^b-1}\frac{\ln a}{a}>a^{b^a-1}\frac{\ln b}{b}$ => $a^{b^{a^b}}>b^{a^{b^a}}$

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Aquí: $a:=e$ y $b:=\pi$

Answer 4

¿Sabes por qué $3^{2} \ge 2^3$ (2 menos que 3) $3^{4} \ge 4^3$ (3 menos que 4)? ¿Cuando eso se cambia? El límite es de $e$

Si usted sabe de $e^\pi \ge \pi^e$ y sabe eso, entonces sabes que pregunta que es el mayor $e^{\pi^{e^{\pi}}}$ o $\pi^{e^{\pi^{e}}}$ es la misma pregunta que es el mayor $3^{4^{3^{4}}}$ o $4^{3^{4^{3}}}$

En segundo lugar se puede calcular manualmente.