¿Por qué es útil demostrar la existencia y la unicidad de la solución de una EDP?

Question

No me malinterpretes, entiendo que es importante en matemáticas estudiar cualitativamente los problemas dados. Pero me gustaría saber hasta qué punto esto ayuda, por ejemplo, a resolver realmente el problema.

Estoy leyendo libros que tratan de la aproximación variacional para EDP elípticas como la laplaciana. Aparte de transformar el problema en uno de minimización de funcionales, el objetivo principal es mostrar la existencia y unicidad de una solución para la EDP dada.

Lo único que se me ocurre es que, por ejemplo, el laplaciano se puede resolver utilizando la separación de variables. Si consigues demostrar que la solución en variables separadas es efectivamente una solución, habrás encontrado el solución.

Answer 1

1. Algunas pruebas de existencia proceden simplemente escribiendo la solución. Esto no ocurre en muchos casos, pero cuando es así, creo que su utilidad es evidente. Los ejemplos rutinarios en los que la separación de variables funciona son opciones aquí.
2. Otras pruebas de existencia son, literalmente, una receta de aproximación, aunque no lleguen a una fórmula explícita. El ejemplo clásico es el de Picard-Lindelof en las EDO: La iteración de Picard es una forma de construir la solución de una EDO. No es muy buena, simplemente porque las integrales que pide son en general caras de calcular, pero se puede hacer.
3. Otras pruebas de existencia sugieren técnicas de aproximación. Por ejemplo, Lax-Milgram nos dice que sólo hay una solución para una EDP elíptica (dadas ciertas condiciones de contorno) y que satisfaga una colección infinita de ecuaciones extraídas del espacio de funciones de prueba. Además, la regularidad elíptica nos indica lo agradable que debemos esperar que sea la solución. Esto nos indica la idea del método de elementos finitos: restringir la atención a sólo un $d$ -del espacio de solución que tiene la regularidad que deberíamos esperar, y resolver el sistema de ecuaciones dado por la forma débil de la ecuación con $d$ funciones de prueba linealmente independientes cuidadosamente elegidas. Las pruebas de existencia de la solución de este sistema de dimensión finita, e incluso las pruebas de convergencia, utilizan algunas de las mismas técnicas que se emplean en la propia prueba de Lax-Milgram.
4. Como ya hemos dicho, a menudo demostramos la unicidad construyendo más o menos directamente la solución. Pero a veces demostramos la unicidad de alguna otra manera (por ejemplo, la solución satisface algún principio variacional para un funcional convexo). Conocer la unicidad (incluso como una "caja negra" como ésta, en la que la prueba no nos ayuda directamente a resolver el problema) puede ayudarnos a resolver ecuaciones al permitirnos hacer suposiciones adicionales y luego comprobar su autoconsistencia sólo al final, sin preocuparnos de eliminar soluciones de la consideración en el proceso. El caso más sencillo de esto que se me ocurre es la resolución de EDOs separables: si una EDO de primer orden separable tiene soluciones únicas para sus PIVs, entonces todas las soluciones son o bien "de tipo separable" o bien constantes. Pero esto también se da en las EDP.
5. En algunos casos no -la singularidad es más interesante que la unicidad. Básicamente, cuando se plantea un problema en la modelización con una solución no única, hay que preguntarse cómo el sistema "real" "selecciona" una solución cuando hay todas esas soluciones por ahí. Esto puede revelar nuevos problemas de interés. El ejemplo que me viene a la mente de mi campo es el problema de la medida invariante. Puede ocurrir que un sistema dinámico determinista tenga muchas medidas invariantes, pero que la que "realmente importa" sea la que se obtiene añadiendo un pequeño ruido, seleccionando la único medida invariante de este sistema perturbado, y luego enviar la intensidad del ruido a cero. Esta idea de perturbación estocástica nos dice algo sobre el sistema determinista subyacente (ya que la respuesta suele ser independiente de la forma precisa del ruido que hayamos elegido).

Aparte de eso, no tengo mucho que decir más allá de "es bueno saber que cuando ejecutamos nuestros cálculos numéricos, estamos buscando algo que realmente existe, y tampoco estamos perdiendo completamente las soluciones".

Answer 2

Hay un ejemplo que he robado de aquí que podría ser de alguna utilidad.

Digamos que tengo la ecuación $\sqrt{2x-1} = -x, (x \in \mathbb R)$ podemos tomar el cuadrado de ambos lados y obtener la ecuación $2x-1=x^2$ que tiene una única solución, $x=1$ . Sabemos que esta única solución era sólo un candidato a solución; no satisface la ecuación tal y como está planteada originalmente.

Cuando se trata de EDP, hay muchas, muchas cosas que considerar. La primera suele ser la propia ecuación (ya sea un laplaciano o cualquier otro tipo de operador conocido), y la segunda es probablemente la condición de contorno.

Se hace mucho hincapié en las condiciones de contorno, y de hecho las tres habituales tienen nombre: Condición de límite de Dirichlet Condición de límite de Neumann y Condición límite de Robin

Las ecuaciones diferenciales pueden plantearse de muchas maneras diferentes. Si añadimos el hecho de que pueden estar en múltiples dimensiones, puede surgir un mundo de problemas: ¿existe siquiera una solución para mi EDP? Quiero decir que puedo plantearla muy fácilmente:

$-\Delta y + y^3 = B u \text{ in } \Omega$ - Una EDP semilineal

$ y = 0 \text{ on } \partial \Omega$ - Condiciones de contorno del problema

Se trata de una PDE difícil que tuve por casualidad delante de mí. ¿Se trata de una EDP arbitraria o existe una solución que podamos resolver de forma significativa? Queremos demostrar que hay una solución y que, si la encuentro, será única, antes de pasar por todo el problema de resolverla. Resolver estas cosas puede ser muy complicado en poco tiempo. ¿Y si la ecuación tuviera $y^2$ en lugar de $y^3$ ?

(Sí, la EDP semilineal que he publicado tiene solución. Olvidé las implicaciones para cualquier otra $y$ -término distinto de $y^3$ (y en mis notas dice que Browder-Minty es el teorema para demostrarlo, pero lo he olvidado y por eso estoy repasando mis notas).

Answer 3

Las EDP están lejos de mi área de experiencia, pero quizás sea útil si menciono lo que considero un aspecto de los teoremas de existencia y unicidad que considero particularmente importante y útil. Ese aspecto no es la conclusión del teorema ("existe una función única tal que $\dots$ ") sino las hipótesis. Éstas describen el tipo de ecuación diferencial considerada y las condiciones iniciales o de contorno que se supone que debe satisfacer la solución. El teorema dice esencialmente que esas condiciones iniciales o de contorno son las a la derecha para ese tipo de ecuación en particular. En otras palabras, nos dicen qué condiciones, además de la ecuación diferencial, se pueden imponer con seguridad (es decir, sigue existiendo una solución cuando se imponen las condiciones) y bastan para fijar la solución por completo (unicidad). Intuitivamente, nos dicen cuánta flexibilidad hay en las soluciones de la ecuación diferencial.

Answer 4

Lo que sigue no responderá completamente a su pregunta, pero puede darle una idea (de las muchas posibles) en qué dirección mirar:

En la mayoría de los casos, la búsqueda de una solución explícita (como se puede hacer a veces para el Laplaciano) es en vano. Las EDP de la aplicación implican muy a menudo (curiosamente) al laplaciano, pero más a menudo son perturbaciones (lineales, semilineales o no lineales) para él. Se dan buenos ejemplos de ello, por ejemplo, en la teoría de las superficies mínimas.

Resulta que los teoremas de existencia y unicidad de las ecuaciones modelo (simples y lineales) son a menudo la piedra angular para demostrar los resultados de existencia de ecuaciones más complicadas, como las no lineales. A menudo se puede considerar una EDP elíptica no lineal como un mapa diferenciable entre variedades de Banach, cuya derivada es entonces una EDP lineal. La existencia y unicidad de las EDP lineales es entonces la clave para aplicar teoremas como el teorema de la función implícita (o inversa) a las no lineales (recordemos que el teorema de la función implícita exige que la derivada sea un isomorfismo. Para que una EDP lineal sea un isomorfismo una condición necesaria es la solvencia única, lo que te da que es onto y one-one), o, de forma más general, aplicar teoremas como el teorema de Sard - Smale en caso de que no conozcas la existencia y la unicidad pero en caso de que sepas que la alternativa de Fredholm se mantiene.

Answer 5

En general, es imposible construir una solución explícita. Pero el hecho de que no se pueda encontrar una solución mediante técnicas estándar como la separación de variables o el análisis de Fourier no significa que no exista una solución.

Un teorema que diga que tu ecuación tiene una y sólo una solución tiene una importancia fundamental, porque dice que tu problema puede resolverse de forma única.

Una vez que sabes que tu solución existe, puedes recurrir a métodos numéricos para aproximarte a ella.

De todos modos, los matemáticos suelen estudiar las propiedades cualitativas de las soluciones incluso antes de haber demostrado que éstas existen. De hecho, las estimaciones a priori pueden ayudarnos a encontrar una solución.

Por último, la existencia es mucho más importante que la unicidad, y muy a menudo las ecuaciones no lineales poseen más de una solución.