Directa prueba que $1 + 3 + 5 + \cdots+ (2n - 1) = $ n n\cdot

Question

Demostrar que para todos los enteros $n$, $n \geq 1$, $$ 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n\cdot n$ $

¿Cómo puedo probar esto?

Answer 1

Sugerencia: Cuando $n=5$, $$\boldsymbol{1+{\color{rojo}3}+{\color{verde}5}+{\color{color púrpura}7}+{\color{blue}9}=} $$ $$\begin{array}{ccccc} \blacksquare & {\color{rojo}\blacksquare} & {\color{verde}\blacksquare} & {\color{color púrpura}\blacksquare} & {\color{blue}\blacksquare}\\ {\color{rojo}\blacksquare} & {\color{rojo}\blacksquare} & {\color{verde}\blacksquare} & {\color{color púrpura}\blacksquare} & {\color{blue}\blacksquare}\\ {\color{verde}\blacksquare} & {\color{verde}\blacksquare} & {\color{verde}\blacksquare} & {\color{color púrpura}\blacksquare} & {\color{blue}\blacksquare}\\ {\color{color púrpura}\blacksquare} & {\color{color púrpura}\blacksquare} & {\color{color púrpura}\blacksquare} & {\color{color púrpura}\blacksquare} & {\color{blue}\blacksquare}\\ {\color{blue}\blacksquare} & {\color{blue}\blacksquare} & {\color{blue}\blacksquare} & {\color{blue}\blacksquare} & {\color{blue}\blacksquare} \end{array} $$

$$\boldsymbol{=5^2}.$$

Convertir esto en un general de la prueba.

Answer 2

El método de Gauss, gráficamente:

Por cierto: Esto corresponde a la prueba 1 en la respuesta de Benjamin; y el gráfico de respuesta de Eric corresponde a prueba 4 (plazas telescópicos).

Answer 3

Prueba de eso $ $n^2=1+3+5+\ldots+(2n-1) por dividir el cuadrado de lado $2n + 1$ de dos formas diferentes:

Answer 4

$$ \begin{eqnarray*} (1 + 3 + 5 +... + (2n - 1)) & = y (1 + 2 + 3 +... + 2n)-(2 + 4 +... + 2n) \\ & = & \sum_{i=1}^{2n}{i}-2\sum_ {i = 1} ^ {n} {i} \\ & = & \frac{(2n)(2n+1)} {2} - 2\left(\frac{n(n+1)} {2} \right) \\ & = & n(2n+1) - n (n + 1) \\ & = & n (2n + 1 - n - 1) = n ^ {2} \end {eqnarray *} $$