qué es el seno de un número real

Question

Nunca entiendo lo que es la función trigonométrica seno..

Teníamos una tabla que tiene los valores del seno para diferentes ángulos, nos la pasamos de memoria y la aplicamos a algunos problemas y ahí se acaba el asunto. Hasta entonces, la función seno está relacionada con los triángulos, los ángulos.

Luego viene el gráfico. Nos han dicho que la figura de abajo es la gráfica de la función seno. Esta función toma ángulos y da números entre $-1$ y $1$ y se nos ha dicho que es una función continua como se desprende de la gráfica.

Luego viene la expansión de taylor del seno y tenemos $$\sin (x)=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots$$

Sé que para cualquier función infinitamente diferenciable, tenemos la expansión de Taylor. Pero, ¿cómo definimos la diferenciabilidad de la función seno?

Definimos la diferenciabilidad de una función de números reales a números reales..

Pero el seno es una función que toma ángulos y da números reales..

Entonces, ¿cómo definimos la diferenciabilidad de una función de este tipo? $1$ ¿es el grado 1?

Estoy confundido Ayúdame

El contenido anterior es un copy paste de un correo que recibí de mi amigo, un estudiante de primer año. Podría responder a algunas cosas vagamente, pero no estoy contento con mis propias respuestas. Por lo tanto, lo estoy publicando aquí Ayúdanos (a mí y a mi amigo) a entender mejor la función senoidal.

Answer 1

La función seno no opera realmente sobre los ángulos, es una función de los números reales al intervalo [-1, 1] (o de los números complejos a los números complejos).

Sin embargo, resulta que es una función muy útil cuando la entrada que le das está relacionada con los ángulos. En concreto, si expresas un ángulo como un número en radianes (en otras palabras, en una escala en la que un ángulo de $2\pi$ corresponde a un círculo completo), te da un valor que se relaciona con la razón de dos lados de un triángulo rectángulo que tiene ese ángulo en una esquina.

Si esta explicación no te satisface, puedes verlo de otra manera: si consideras que la función seno hace toma un ángulo como entrada y da como resultado un número, entonces la diferenciabilidad del mismo se relaciona con la forma en que su salida cambia al cambiar ligeramente el ángulo. Si vas lo suficientemente lejos en el cálculo, aprenderás acerca de las funciones cuyas entradas y salidas son conceptos multidimensionales extraños, y siempre que el espacio de los conceptos multidimensionales extraños tenga las propiedades correctas, puedes calcular derivadas en un sentido significativo, y si puedes conseguir tu cabeza alrededor de eso, entonces diferenciar una función de un ángulo es poca cosa.

Answer 2

Imagina el círculo unitario en el plano cartesiano habitual: el conjunto de pares $(x, y)$ donde $x$ y $y$ son números reales. El círculo unitario es el conjunto de todos esos pares a una distancia de exactamente $1$ desde el origen.

Imagina un punto moviéndose alrededor del círculo. Mientras se desplaza alrededor del círculo, forma un ángulo de $t$ radianes (¡no grados!) con el positivo $x$ -eje. A partir de ahora llamaremos al $x$ coordina el coseno de $t$ y el $y$ coordina el seno de $t$ .

Es tan simple como eso. Si sólo recuerdas este hecho, podrás averiguar todo lo demás: las definiciones de las funciones trigonométricas en términos de triángulos, la forma de las gráficas de las funciones y todo lo demás.

Para repetir: $\cos(t)$ y $\sin(t)$ son los $x$ y $y$ coordenadas, respectivamente, de un punto del círculo unitario que forma un ángulo de $t$ radianes con el origen y el positivo $x$ -eje.

Hay una foto aquí ... https://en.wikipedia.org/wiki/Unit_circle

Answer 3

¿Cómo se consigue la derivación de $\sin(x)$ ?

1. Definir $\sin(x)$ para ser la serie $A(x) = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$
2. Definir $\cos(x)$ para ser la serie $B(x) = 1-\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$
3. Algunos análisis en marcha. Primero, tienes que convencerte de que estas dos series convergen. En segundo lugar, tienes que convencerte de que puedes diferenciar estas dos series. Esta parte es realmente difícil.
4. Por último, sólo tienes que diferenciarlo, y verás que $\frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)$ .

Obsérvese que aquí no hay ningún razonamiento cíclico. El único problema es que tienes que convencerte de que definir $\sin$ y $\cos$ de esta manera tiene realmente sentido.

En caso de que no te guste esta prueba, hay otra más elemental que también se puede encontrar en ProofWiki. Sólo utiliza algunos datos sobre los límites.

Answer 4

Una excelente pregunta.

Lo bueno de las matemáticas es que a menudo hay muchas formas diferentes de definir algo, pero resultan ser equivalentes. En la práctica, resulta muy útil definir las funciones trigonométricas como una serie de Taylor. De esta manera, es completamente obvio que las funciones son diferenciables y puedes calcular fácilmente las derivadas.

Sin embargo, no soy muy partidario de esta definición. Los polinomios son agradables como local descripción de todo tipo de funciones (es decir, para ángulos pequeños), pero para el panorama general esto es oblicuo en el mejor de los casos, erróneo en el peor. De hecho, lo que ha dicho

Sé que para cualquier función infinitamente diferenciable, tenemos la expansión de Taylor.

no es correcto: para cualquier función infinitamente diferencial, se puede definir algunos Taylor, pero sólo para funciones analíticas esta serie describirá realmente la función original. Hay muchas funciones importantes que son infinitamente diferenciables pero no son analíticas, por ejemplo, la funciones de prueba . Pero estoy divagando.

Una forma intuitiva de derivar las funciones trigonométricas es observar los movimientos físicos de oscilación, por ejemplo, trazar la altura $h(t)$ de un punto en una rueda de rotación contra el tiempo. Si quieres triángulos, puedes dibujarlos en la rueda:

Se trata de un movimiento continuo (la rueda debe pasar por ángulos infinitesimales en el curso de su movimiento), y tienes las derivadas "incorporadas". Es bastante fácil averiguar que $$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} h(t) \propto - h(t)$$ debe cumplirse. ( $\propto$ significa proporcional en realidad hay un factor correspondiente a la velocidad del ángulo). Pues bien, ahora se puede ver el caso especial de que la proporción sea $1$ y utilizar $$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} (\sin t) = - \sin t$$ como el definir ¡ecuación de la función seno!

Pero espera un momento, ¿está esto realmente bien definido? Hay que demostrarlo. No es tan fácil como si se parte de la serie de Taylor, pero se puede hacer: el Teorema de Picard-Lindelöf te dice que, con una condición inicial adecuada, tal ecuación diferencial ordinaria da una solución única. Incluso te dice una expansión en serie de potencias, que por supuesto resulta ser igual a la definición de la serie de Taylor.

Answer 5

Es estupendo que hayas formulado esta pregunta (y +1 por exponer muy claramente tus inquietudes en la pregunta). Francamente hablando, la forma en que estas funciones se presentan a los estudiantes como parte de un curso de trigonometría (es decir, los estudiantes de 14 años de edad) no tienen mucho sentido, aparte de un conjunto de símbolos de fantasía que satisfacen ciertas identidades. Además la forma en que estas funciones están vinculadas a los ángulos y triángulos las convierte en una herramienta sistemática para utilizar el concepto de semejanza de triángulos. Esta es una de las aproximaciones a la trigonometría y no es más que algo de álgebra combinada con propiedades del triángulo semejante.

La otra aproximación a estas funciones está ligada muy íntimamente a la rectificación y cuadratura de una circunferencia y casi siempre esta parte no se destaca en un curso de Trigonometría porque trasciende el poder del álgebra y la geometría. No sólo se utiliza un enfoque diferente, sino un nombre diferente "funciones circulares" cuando las vinculamos a un círculo. Es este enfoque el que responde perfectamente a la pregunta: Si $x$ es un real entonces lo que se entiende por símbolo $\sin x$ ?

Consideremos entonces el círculo unitario $x^{2} + y^{2} = 1$ de manera que su centro sea el origen y el radio sea $1$ . Utilizando una definición rigurosa de la longitud de una curva y de la definición del área de las regiones planas, es posible establecer que el círculo unitario tiene una circunferencia bien definida y que la región plana formada por el círculo tiene un área bien definida. Esta es la parte que requiere las herramientas de análisis. Yendo más allá, se puede establecer que un arco de circunferencia tiene una longitud y que el sector correspondiente de la circunferencia tiene un área.

Dejemos que $A = (1, 0)$ sea el punto donde el círculo unitario se encuentra con la mitad positiva de $x$ -eje. Ahora dejemos que $x$ sea un número real dado y supongamos primero que $x$ es no negativo. Partamos del punto $A$ y se desplaza sobre el círculo en sentido contrario a las agujas del reloj, de manera que después de cubrir $x$ unidades de distancia llegamos al punto $P$ . Tenga en cuenta que si $x$ es grande podemos tener que movernos en el círculo varias veces para cubrir la distancia $x$ . Las coordenadas del punto $P$ son se define como $(\cos x, \sin x)$ . Si $x$ es negativo, entonces tenemos que empezar desde $A$ y moverse en el círculo en sentido contrario a las agujas del reloj para cubrir una distancia $|x|$ unidades y punto de alcance $P$ y por definición de nuevo $P$ tiene las coordenadas $(\cos x, \sin x)$ .

Por la definición anterior vemos que como $P$ se encuentra en el círculo unitario, obtenemos automáticamente $$\cos^{2}x + \sin^{2}x = 1$$ Como ves, en esta definición mencionada anteriormente no se habla de ángulos. Dado un real $x$ obtenemos el valor de $\cos x, \sin x$ como coordenadas de un punto adecuado $P$ que depende de $x$ .

Usando la definición obtenemos algunos hechos obvios como $\cos 0 = 1, \sin 0 = 0$ . Además, las propiedades periódicas son obvias, pero para obtenerlas en su forma habitual necesitamos introducir el número $\pi$ . Y no necesitamos nada nuevo aquí porque $\pi$ se define históricamente como la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo y, por lo tanto, para el círculo unitario la circunferencia resulta ser $2\pi$ . Ahora considere cualquier número $x$ y supongamos que hemos cubierto $|x|$ distancia en el círculo unitario a partir de $A$ y terminando en $P$ (moviéndose en sentido contrario a las agujas del reloj si $x \geq 0$ y en el sentido de las agujas del reloj si $x < 0$ ). Ahora, a partir de $P$ si cubrimos otra distancia de $2\pi$ en sentido contrario a las agujas del reloj llegamos al mismo punto $P$ de nuevo. Por lo tanto, vemos que $$\cos (x + 2\pi) = \cos x, \sin (x + 2\pi) = \sin x$$ para todos $x$ .

He dado la definición de las funciones circulares utilizando la idea de la longitud de un arco de círculo. Es posible (y más sencillo desde el punto de vista del análisis) definirlas utilizando las áreas de los sectores correspondientes. Utilizando el cálculo integral se puede demostrar muy fácilmente (sin ningún conocimiento de $\sin x, \cos x$ ) que si $AP$ es un arco de círculo unitario con longitud $x$ y $AOP$ es el sector correspondiente, entonces el área del sector $AOP$ es $x/2$ . Como en el caso de los arcos podemos hacer la convención de que el área del sector debe ser tratada como positiva cuando nos movemos en sentido contrario a las agujas del reloj desde $A$ a $P$ y si pasamos de $A$ a $P$ en el sentido de las agujas del reloj, entonces el área del sector $AOP$ es negativo. Por lo tanto, dado cualquier número real $x$ pasamos de $A$ a $P$ en un círculo tal que el área del sector $AOP$ es $x/2$ y definen las coordenadas del punto $P$ como $(\cos x, \sin x)$ .

Debido a la relación entre la longitud del arco y el área del sector correspondiente mencionada en el último párrafo, está claro que la definición de la función circular basada en la longitud de los arcos es equivalente a su definición basada en el área de los sectores.

Utilizando la definición basada en áreas es posible demostrar fácilmente que si $0 < x < \pi/2$ entonces $$\sin x < x < \dfrac{\sin x}{\cos x}$$ lo que conduce a la primera y más importante propiedad analítica de $\sin x$ es decir, que $$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$ Y combinado con las fórmulas de adición de funciones circulares se pueden obtener las derivadas de $\sin x, \cos x$ y luego justificar el gráfico de $\sin x$ . Se puede encontrar además su serie de Taylor y de hecho cualquier propiedad analítica de $\sin x, \cos x$ se puede derivar a partir de este punto.

---

En caso de que te preguntes sobre los ángulos y su relación con las funciones circulares es mejor que entiendas primero el relación entre ángulos y círculos (el uso del transportador semicircular para medir ángulos nos da una pista de que existe un profundo vínculo entre los ángulos y los círculos).