Se podrían decir muchas cosas, pero intentaré ser breve. A grandes rasgos, la idea (al igual que con las funciones zeta) es que las funciones L proporcionan una forma de estudiar analíticamente los objetos aritméticos. En concreto, muchos datos interesantes están codificados en la ubicación de los ceros y los polos de las funciones L, y como las funciones L son objetos analíticos, ahora se puede utilizar el análisis para estudiar la aritmética. He aquí algunos ejemplos:
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El hecho de que $\zeta(s)$ tiene un polo en $s=1$ implica la infinitud de los primos.
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(añadido) Las hipótesis de Riemann y las generalizaciones, que se refieren a la localización de los ceros no triviales de las funciones zeta-/L, tienen muchas implicaciones como información refinada sobre la distribución de los números primos.
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El hecho de que las funciones L de Dirichlet no tienen un cero en $s=1$ implica que hay infinitos primos en las progresiones aritméticas. Dirichlet introdujo la noción de funciones L para demostrar este hecho.
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Si $E : y^2 = x^3+ax+b$ es una curva elíptica y su $L$ -función $L(s,E)$ (que también es el $L$ -de una curva elíptica) es distinto de cero en el valor central $s=1$ entonces $y^2=x^3+ax+b$ sólo tiene un número finito de soluciones racionales. Esta es la dirección conocida de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer.
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(añadido) Además de conocer sólo las ubicaciones de los ceros y los polos de las funciones L, los valores reales de las funciones L en puntos especiales contienen más información aritmética. Por ejemplo, si $\chi_K$ es el carácter cuadrático de Dirichlet asociado a un campo cuadrático imaginario $K$ entonces el fórmula del número de clase dice $L(1,\chi_K)$ es esencialmente el número de clase de $K$ . Del mismo modo, el valor de $L(1,E)$ en el ejemplo anterior se expresa conjeturalmente en términos del tamaño del grupo Tate-Shafarevich de $E$ y el número de puntos racionales en $E$ .
Como se menciona en los comentarios, $L$ -Las funciones son también una herramienta conveniente para asociar diferentes tipos de objetos entre sí, por ejemplo, curvas elípticas y formas modulares, pero no son estrictamente necesarias para ello.
Bonito $L$ -tendrán al menos una continuación meromorfa a $\mathbb C$ Los productos de Euler, y ciertos límites en su crecimiento. Por ejemplo, las funciones L de las formas eigencusp y las funciones L de Dirichlet. Estas propiedades hacen que $L$ -funciones bonitas objetos analíticos con los que trabajar. En particular, el producto de Euler proporciona una manera de estudiar objetos globales a partir de datos locales (un conjunto finito de datos para cada número primo $p$ ).
(añadido) Ver también esta pregunta de MathOverflow .
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Por un lado, $L$ -son el nexo de unión entre las formas modulares y las curvas elípticas que llevaron a la formulación de la conjetura de modularidad.
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Estrictamente hablando, se puede plantear la conjetura de modularidad en términos geométricos, sin funciones L (se hace en Mazur, La teoría de los números como tábano por ejemplo). Pero muchos objetos matemáticos diferentes definen funciones L, lo que nos permite compararlas, y eso puede ser una parte de la respuesta. En cualquier caso, espero con impaciencia las respuestas de los expertos sobre esta cuestión.
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Las series de potencias son más que útiles para el estudio de las funciones aditivas, mientras que las series de Dirichlet (con un producto de Euler = función L) son más que útiles para el estudio de las funciones multiplicativas. casi todo lo que está relacionado con la factorización y los números primos puede representarse como funciones multiplicativas, y las funciones multiplicativas se presentan naturalmente en formas modulares (e inversamente)
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¿Has probado a trabajar con el teorema de Dirichlet sobre los primos en las progresiones aritméticas? Este es probablemente el primer lugar donde las funciones L pueden ser utilizadas para demostrar algo significativo para un estudiante de teoría de números en general.