¿Cómo sabemos que la probabilidad de sacar 1 y 2 es 1/18?

Question

Desde mi primera clase de probabilidad me he preguntado lo siguiente.

El cálculo de probabilidades suele introducirse a través de la relación entre los "sucesos favorecidos" y el total de sucesos posibles. En el caso de lanzar dos dados de 6 caras, la cantidad de sucesos posibles es $36$ como se muestra en la tabla siguiente.

\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline 2 & (2,1) & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline 3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline 4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline 5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ \hline 6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \hline \end{array}

Por lo tanto, si estuviéramos interesados en calcular la probabilidad de que el evento A "ruede un $1$ y un $2$ ", veríamos que hay dos "eventos favorecidos" y calcularíamos la probabilidad del evento como $\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$ .

Ahora, lo que siempre me hizo preguntarme es: Digamos que sería imposible distinguir entre los dos dados y sólo los observaríamos después de haberlos tirado, así que por ejemplo observaríamos "Alguien me da una caja. Abro la caja. Hay un $1$ y un $2$ ". En este escenario hipotético no podríamos distinguir entre los dos dados, por lo que no sabríamos que hay dos posibles eventos que conducen a esta observación. Entonces nuestros posibles eventos serían así:

\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|} \hline (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline & & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline & & & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline & & & & (5,5) & (5,6) \\ \hline & & & & & (6,6) \\ \hline \end{array}

y calcularíamos la probabilidad del evento A como $\frac{1}{21}$ .

De nuevo, soy plenamente consciente de que el primer enfoque nos llevará a la respuesta correcta. La pregunta que me hago es:

¿Cómo sabemos que $\frac{1}{18}$ ¿es correcto?

Las dos respuestas que se me ocurren son:

• Podemos comprobarlo empíricamente. Por mucho que me interese esto, tengo que admitir que no lo he hecho yo mismo. Pero creo que sería el caso.
• En realidad podemos distinguir entre los dados, como que uno es negro y el otro azul, o lanzar uno antes que el otro o simplemente saber del $36$ posibles eventos y entonces toda la teoría estándar funciona.

Mis preguntas son:

• ¿Qué otras razones hay para que sepamos que $\frac{1}{18}$ ¿es correcto? (Estoy bastante seguro de que debe haber algunas razones (al menos técnicas) y por eso he publicado esta pregunta)
• ¿Existe algún argumento básico para no asumir que no podemos distinguir entre los dados en absoluto?
• Si suponemos que no podemos distinguir entre los dados y no tenemos forma de comprobar la probabilidad empíricamente, es $P(A) = \frac{1}{21}$ ¿es correcto o he pasado algo por alto?

Gracias por tomarse su tiempo para leer mi pregunta y espero que sea lo suficientemente específica.

Answer 1

Creo que estás pasando por alto el hecho de que no importa si "nosotros" podemos distinguir los dados o no, sino que importa que los dados son únicos y distintos, y actúan por sí mismos.

Así que si en el escenario de la caja cerrada, abres la caja y ves un 1 y un 2, no sabes si es $(1,2)$ o $(2,1)$ porque no puedes distinguir los dados. Sin embargo, ambos $(1,2)$ y $(2,1)$ conduciría a la misma visual que usted ve, es decir, un 1 y un 2. Así que hay dos resultados que favorecen esa visual. Del mismo modo, para cada par que no sea el mismo, hay dos resultados que favorecen a cada visual, por lo que hay 36 resultados posibles.

Matemáticamente, la fórmula de la probabilidad de un evento es $$\dfrac{\text{Number of outcomes for the event}}{\text{Number of total possible outcomes}}. $$

Sin embargo, esta fórmula sólo es válida para cuando cada resultado es igualmente probable . En la primera tabla, cada uno de esos pares es igualmente probable, por lo que la fórmula se mantiene. En la segunda tabla, cada resultado no es igualmente probable, por lo que la fórmula no funciona. La forma de encontrar la respuesta utilizando tu tabla es

Probabilidad de 1 y 2 = Probabilidad de $(1,2)$ + Probabilidad de $(2,1)$ = $\dfrac{1}{36} + \dfrac{1}{36} = \dfrac{1}{18}$ .

Otra forma de pensar en esto es que este experimento es exactamente igual que lanzar cada dado por separado, donde se puede detectar el dado 1 y el dado 2. Así, los resultados y sus probabilidades coincidirán con el experimento de la caja cerrada.

Answer 2

Imagina que tiras tu dado justo de seis caras y obtienes ⚀. El resultado fue tan fascinante que llamaste a tu amigo Dave y le contaste y se lo cuentas. Como él tenía curiosidad por saber qué obtendría al lanzar su dado justo de seis caras, lo lanzó y obtuvo ⚁.

Un dado estándar tiene seis caras. Si no se hace trampa, entonces cae en cada lado con igual probabilidad, es decir $1$ en $6$ tiempos. La probabilidad de que lances ⚀, al igual que con los otros lados, es $\tfrac{1}{6}$ . La probabilidad de que lances ⚀, y tu amigo lanza ⚁, es $\tfrac{1}{6} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{36}$ ya que los dos eventos son independiente y multiplicamos las probabilidades independientes. Dicho de otra manera, hay $36$ arreglos de tales pares que pueden ser fácilmente enumerados (como ya lo hizo). La probabilidad del suceso contrario (tú lanzas ⚁ y tu amigo lanza ⚀) es también $\tfrac{1}{36}$ . Las probabilidades de que lances ⚀, y tu amigo lanza ⚁, o que se lanza ⚁, y tu amigo lanza ⚀, son exclusivo Así que los añadimos $\tfrac{1}{36} + \tfrac{1}{36} = \tfrac{2}{36}$ . Entre todas las disposiciones posibles, hay dos que cumplen esta condición.

¿Cómo sabemos todo esto? Bueno, en base a probabilidad La combinatoria y la lógica, pero estas tres necesitan algún conocimiento fáctico en el que basarse. Sabemos en base a la experiencia de miles de jugadores y algo de física, que no hay razón para creer que un dado justo de seis caras tenga más que una probabilidad equiprobable de caer en cada lado. Del mismo modo, no tenemos ninguna razón para sospechar que dos independiente Los lanzamientos están de alguna manera relacionados y se influyen mutuamente.

Puedes imaginar un caja con entradas etiquetados utilizando todos los $2$ -combinaciones (con repetición) de números de $1$ a $6$ . Eso limitaría el número de resultados posibles a $21$ y cambiar las probabilidades. Sin embargo, si se piensa en esa definición en términos de dados, habría que imaginar dos dados que están pegados de alguna manera. Esto es algo muy diferente a dos dados que pueden funcionar de forma independiente y pueden ser lanzados solos cayendo en cada lado con igual probabilidad sin afectarse mutuamente.

Dicho esto, hay que comentar que estos modelos son posible, pero no para cosas como los dados. Por ejemplo, en la física de partículas basada en observaciones empíricas parecía que Estadística de Bose-Einstein de partículas no distinguibles (véase también el estrellas y barras problema) es más apropiado que el modelo de partículas distinguibles. Se pueden encontrar algunas observaciones sobre estos modelos en Probabilidad o Probabilidad a través de la expectativa de Peter Whittle, o en el volumen uno de Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones por William Feller.

Answer 3

La idea clave es que si se enumeran los 36 resultados posibles de dos dados distinguibles, se está enumerando igualmente probable resultados. Esto no es obvio, ni axiomático; es cierto sólo si tus dados son justos y no están conectados de alguna manera. Si se enumeran los resultados de dados indistintos, no son igual de probables, porque por qué habrían de serlo, al igual que los resultados "ganar la lotería" y "no ganar la lotería" son igual de probables.

Para llegar a la conclusión, necesitas:

• Estamos trabajando con dados justos, para los que los seis números son igualmente probables.
• Los dos dados son independientes, de modo que la probabilidad de que el dado número dos obtenga un número concreto es siempre independiente del número que haya dado el dado número uno. (Imagina que, en cambio, tiras el mismo dado dos veces sobre una superficie pegajosa de algún tipo que hiciera que la segunda tirada saliera diferente).

Dados esos dos hechos sobre la situación, las reglas de la probabilidad te dicen que la probabilidad de conseguir cualquier par $(a,b)$ es la probabilidad de conseguir $a$ en el primer dado es el de conseguir $b$ en el segundo. Si empiezas a agrupar $(a,b)$ y $(b,a)$ juntos, entonces ya no tienes la simple independencia de los eventos para ayudarte, así que no puedes simplemente multiplicar las probabilidades. En su lugar, has hecho una colección de eventos mutuamente excluyentes (si $a \neq b$ ), por lo que se pueden sumar con seguridad las probabilidades de obtener $(a,b)$ y $(b,a)$ si son diferentes.

La idea de que se pueden obtener probabilidades simplemente contando posibilidades se basa en supuestos de igualdad de probabilidades e independencia. Estas suposiciones rara vez se verifican en la realidad, pero casi siempre en los problemas del aula.

Answer 4

Si lo traducimos en términos de monedas -por ejemplo, lanzando dos monedas de un centavo indistintas-, se convierte en una cuestión de sólo tres resultados: 2 caras, 2 colas, 1 de cada, y el problema es más fácil de detectar. La misma lógica se aplica, y vemos que es más probabilidades de obtener 1 de cada uno que obtener 2 caras o 2 colas.

Eso es lo resbaladizo de tu segunda tabla: representa todos los resultados posibles, aunque sean no todas las probabilidades son igual de ponderadas como en la primera tabla. Sería poco definido tratar de explicar lo que significa cada fila y columna de la segunda tabla - sólo tienen sentido en la tabla combinada donde cada resultado tiene 1 casilla, independientemente de la probabilidad, mientras que la primera tabla muestra "todos los resultados igualmente probables del dado 1, cada uno con su propia fila", y de forma similar para las columnas y el dado 2.

Answer 5

Empecemos por establecer el supuesto: los dados indistinguibles sólo lanzan 21 resultados posibles, mientras que los distinguibles lanzan 36 resultados posibles.

Para comprobar la diferencia, consigue un par de dados blancos idénticos. Recubre uno de ellos con un material que absorba los rayos UV, como la crema solar, que es invisible a simple vista. Los dados siguen pareciendo indistinguibles hasta que los miras bajo una luz negra, cuando el dado recubierto aparece negro mientras que el dado limpio brilla.

Oculta el par de dados en una caja y agítala. ¿Cuáles son las probabilidades de obtener un 2 y un 1 al abrir la caja? Intuitivamente podrías pensar que "sacar un 1 y un 2" es sólo 1 de los 21 resultados posibles porque no puedes distinguir los dados. Pero si abres la caja bajo una luz negra puede distinguirlos. Cuando puedes distinguir los dados, "sacar un 1 y un 2" son 2 de las 36 combinaciones posibles.

¿Significa eso que una luz negra tiene el poder de cambiar la probabilidad de obtener un determinado resultado, incluso si los dados sólo se exponen a la luz y se observan después de ¿se han enrollado? Por supuesto que no. Nada cambia los dados después de dejar de agitar la caja. La probabilidad de un resultado dado no puede cambiar.

Dado que la suposición original depende de un cambio que no existe, es razonable concluir que la suposición original era incorrecta. Pero, ¿qué hay de incorrecto en la suposición original: que los dados indistinguibles sólo lanzan 21 resultados posibles, o que los dados distinguibles lanzan 36 resultados posibles?

Está claro que el experimento de la luz negra demostró que la observación no tiene ningún impacto en la probabilidad (al menos a esta escala - la probabilidad cuántica es un asunto diferente) ni en la distinción de los objetos. El término "indistinguible" sólo describe algo que la observación no puede diferenciar de otra cosa. En otras palabras, el hecho de que los dados parezcan iguales en algunas circunstancias (es decir, que no estén bajo una luz negra) y no en otras no influye en el hecho de que sean realmente dos objetos distintos. Esto sería cierto incluso si nunca se descubrieran las circunstancias en las que eres capaz de distinguirlos.

En resumen: su capacidad para distinguir entre los dados que se lanzan es irrelevante a la hora de analizar la probabilidad de un resultado concreto. Cada dado es intrínsecamente distinto. Todos los resultados se basan en este hecho, no en el punto de vista de un observador.