Si $f(x)$ tiene una asíntota vertical, no $f'(x)$ tiene uno también?

Question

Así que aquí es lo que yo entiendo:

• Si $f(x)$ es creciente/decreciente, entonces su derivada $f'(x)$ es positivo/negativo

y...

• Si $f(x)$ es creciente/decreciente, entonces la derivada de $f'(x)$ ( $f''(x)$ ) es cóncava hacia arriba cóncava/abajo

Así que mi pregunta es: si una gráfica tiene una asíntota vertical, la derivada también debe tener una asíntota vertical, también, derecho? ¿También funciona viceversa? Me siento como que hay un truco, pero no estoy seguro.

Tengo una gráfica de GeoGebra aquí. La línea punteada es la derivada.

Answer 1

si una gráfica tiene asíntota vertical, la derivada también debe tener una asíntota vertical demasiado, ¿verdad?

No. Un contraejemplo: $$f(x)=\frac{1}{x}+\sin\left(\frac{1}{x}\right)$$ This function is monotone and has a vertical asymptote at $x=0$. Pero su derivada no tiene límite.

Answer 2

No del todo. Supongamos $y = f(x)$ tiene una asíntota vertical en $x=a$ en el sentido de que $\lim_{x \to a\pm} f(x) = +\infty$ o $-\infty$. A continuación, $\lim_{x \to a\pm} f'(x)$ no puede ser un número finito. Podría ser $+\infty$ o $-\infty$, pero también podría no existir en absoluto. De hecho, $f'$ podría no existir en absoluto.

En la otra dirección, $f'$ puede tener una asíntota vertical sin $f$ tener uno. Por ejemplo, considere la posibilidad de $f(x) = x^{2/3}$, $f'(x) = \dfrac{2}{3} x^{-1/3}$, con $a=0$.