La entrada a nivel de Doctorado integral: $\int_0^\infty\frac{\sin 3x\sin 4x\sin5x\cos6x}{x\sin^2 x\cosh x}\ dx$

Question

Espero que esta integral interesante.

Evaluar $$\int_0^\infty\frac{\sin\left(\,3x\,\right)\sin\left(\,4\,\right) \sin\left(\,5x\,\right)\cos\left(\,6x\,\right)}{x\,\sin^{2}\left(\,x\,\right)\cosh\left(\,x\,\right)}\,\,\mathrm{d}x\tag1$$

Este problema se toma del Doctorado posgrado pruebas de ingreso en mi cuenta de la universidad. He intentado usar el producto-suma de identidades trigonométricas $$2\sin 4x\sin 3x=\cos x-\cos 5x$$ y $$2\cos 6x\sin 5x=\sin 11x-\sin x$$ Yo tengo un montón de la siguiente forma $$\int_0^\infty\frac{\sin \alpha x\cos \beta x}{x\sin^2 x\cosh x}\ dx\quad\Longrightarrow\quad\int_0^\infty\frac{\sin \gamma x}{x\sin^2 x\cosh x}\ dx\tag2$$ He intentado $$I'(\gamma)=\int_0^\infty\frac{\cos \gamma x}{\sin^2 x\cosh x}\ dx\tag3$$ pero la última forma no es fácil de evaluar. Alguien aquí puede que me ayude a evaluar $(1)$? Gracias de antemano.

Answer 1

Por De Moivre la fórmula de $\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ tenemos las siguientes transformadas de Fourier senoidal de la serie: $$\frac{\sin(3x)\sin(4x)\sin(5x)\cos(6x)}{\sin^2(x)}\\= -\frac{1}{2} \sin(2x)-\frac{1}{2}\sin(4x)+\sin(8x)+\frac{3}{2}\sin(10x)+\frac{3}{2}\sin(12x)+\sin(14x)+\frac{1}{2}\sin(16 x)$$ y: $$I(n)=\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(2nx)}{x\cosh(x)}\,dx = 2\arctan\left(\tanh\frac{\pi n}{2}\right) $$ sigue por la diferenciación bajo el signo integral. El original de la integral puede ser expresada en términos de la Gudermannian función:

$$ I = \frac{1}{4} (-\text{gd}(\pi)- \text{gd}(2\pi) + 2 \text{gd}(4\pi) + 3 \text{gd}(5\pi) + 3 \text{gd}(6\pi) + 2 \text{gd}(7\pi) + \text{gd}(8\pi)). $$

Answer 2

Sugerencia. Uno puede empezar con el estándar de evaluación $$ \int_0^\infty \frac{\cos (ax)}{\cosh x}\:dx=\frac{\pi}2\:\frac1{\cosh \left(\large \frac{\pi}2\right)},\quad\ge 0,\tag1 $$ then, writing $\displaystyle \frac1{2\cosh \left(\large \frac{\pi}2\right)}=\frac{e^{\large \frac{\pi}2}}{e^{\pi}+1}$, integrating it with respect to $un$ from $0$ to $b$ da $$ \int_0^\infty \frac{\sin (b, x)}{x\cosh x}\:dx=2\arctan\left(\tanh\left(\frac{b \pi }{4}\right)\right). \tag2 $$ Ahora uno puede observar que $$ \frac{\sen 3x\sen 4x\sin5x\cos6x}{x\sin^2 x\cosh x}=\sum_{\large b_i}\alpha_i\frac{\sin (b_i x)}{x\cosh x} \tag3 $$ and conclude using $(2)$.

Answer 3

De hecho, hemos $$ \begin{align} I(M,N)&=\int_0^\infty\frac{\sin Nx\sin(N+1)x\sin Mx\cos(M+1)x}{x\sin^2 x\cosh x}\ dx\\[10pt] &=\sum_{m=1}^M\sum_{n=1}^N\left[\arctan\left( e^{(m+n)\pi} \right)-\arctan\left( e^{(m-n)\pi} \right)\right]\\[10pt] &=\frac{1}{2}\sum_{m=1}^M\sum_{n=1}^N\bigg[\operatorname{gd}\!\big((m+n)\pi\big)-\operatorname{gd}\!\big((m-n)\pi\big)\bigg] \end{align} $$ y la integral es $I(5,3)$.

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_{Lo siento por el Cleo-estilo de respuesta, pero ahora mismo estoy ocupado jugando Pokemon Ir, así que voy a publicar la solución completa cuando estoy libre. Ya nos veremos...}