La dimensión Fractal de la función $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mathrm{sign}\left(\sin(nx)\right)}{n}$

Question

Considere la función $$ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mathrm{signo}\left(\sin(nx)\right)}{n}\, . $$ Este es un extraño y fascinante de la función. Algunas propiedades de esta función que PARECE ser cierto:

1) $f(x)$ $2\pi$- periódico y extraño alrededor de $\pi$.

2) $\lim_{x\rightarrow \pi_-} f(x) = \ln 2$. (Puede ser probado por dejar a $x = \pi-\epsilon$, la expansión de la función seno, y tomando el límite cuando $\epsilon\rightarrow 0$.)

3) $\int_0^{\pi}dx\, f(x) = \frac{\pi^3}{8}$ (Puede ser "probada" por la integración de cada una de las $\mathrm{sign}\left(\sin(nx)\right)$ término por separado. Lado de la cuestión: Es un procedimiento en este jumpy función significativa?)

Todo esto a pesar del hecho de que realmente no puedo probar que esta función converge en otro lugar que al $x$ es un múltiplo de a $\pi$!

Una gráfica de esta función (por ejemplo, en Mathematica) revela una sorprendente forma fractal. Mi pregunta: ¿Cuál es la dimensión fractal de la gráfica de esta función? La respuesta depende de la definición de la dimensión fractal utilizamos (cuadro dimensión, la similitud dimensión, ...)?

Esta pregunta no viene de cualquier lugar que no sea de mi deseo de ver si existe una respuesta.

Como lo solicita, una parcela de esta función en el rango de $x\in[0,2\pi]$:

Editado para añadir:

Otros, quizás más inmediato, la pregunta acerca de esta función:

1) Hace converger? Conjetura: converge siempre que $x/\pi$ es irracional, pero no necesariamente difieren si $x/\pi$ es racional. Ver, por ejemplo, $x = \pi$, donde converge a cero, y que al parecer se $\pm \ln 2$ a cada lado de la $x = \pi$.

2) me imagino que es diverge como $x\rightarrow 0_+$. ¿Cómo divergen allí? Si esto realmente es un fractal de la función, me gustaría suponer que el conjunto de puntos donde se bifurca es densa. Por ejemplo, parece haber una divergencia en $x = 2\pi/3$.

Edit 2:

Otra cosa que es bastante sencillo demostrar es que: $$ \lim_{x\rightarrow {\frac{\pi}{2}}_-} f(x) = \frac{\pi}{4} + \frac{\ln 2}{2} $$ y $$ \lim_{x\rightarrow {\frac{\pi}{2}}_+} f(x) = \frac{\pi}{4} - \frac{\ln 2}{2} $$

Última Edición:

Ahora me doy cuenta de que la pregunta inicial acerca de esta función, ¿cuál es su dimensión fractal - es (para usar un término técnico) muy tonta. Hay mucho más inmediato y relevante cuestión, por ejemplo, acerca de la convergencia, etc. Ya he seleccionado una de las siguientes respuestas como respondiendo a una serie de estas preguntas.

Un punto final, para cualquier persona que se tropieza en este post en el futuro. El plazo $\mathrm{sign}(\sin(nx))$ es en realidad una onda cuadrada, y por lo que podemos utilizar la habitual serie de Fourier de una onda cuadrada para derivar una forma alternativa de expresar esta función: $$ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mathrm{signo}\left(\sin(nx)\right)}{n} = \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty} \frac{\sin(n(2m-1)x)}{n(2m-1)} $$ Cambiando el orden de las sumas y haciendo el $n$ de la suma de la primera, esto también podría ser representada como una suma ponderada de las ondas de diente de sierra.

Answer 1

Podemos probar la convergencia en casi todas partes el uso de la siguiente

Teorema: Dejar que $\varphi $ a function such that $$\varphi\left(x\right)\in L^{2}\left(-\pi,\pi\right),\,\varphi\left(x+2\pi\right)=\varphi\left(x\right),\,\int_{0}^{2\pi}\varphi\left(x\right)dx=0.$$ Assume that $$\sup_{0<h\leq\delta}\left(\int_{0}^{2\pi}\left|\varphi\left(x+h\right)-\varphi\left(x\right)\right|^{2}dx\right)^{1/2}=O\left(\delta^{1/2}\right) $$ and let the sequence of real numbers $\left(a_{n}\right)_{n} $ such that $$\sum_{n\geq2}a_{n}^{2}\log^{\gamma}\left(n\right)<\infty,\,\gamma>3 $$ then the series $$\sum_{n\geq1}a_{n}\varphi\left(nx\right) $$ converge en casi todas partes.

(Para una referencia de véase V. F. Gaposhkin, "En la serie relativa al sistema de $\left\{ \varphi\left(nx\right)\right\} $", Mat. Sb. (N. S.), $69(111)$:$3$ ($1966$), $328–353$)

Por lo que es suficiente para que tenga en cuenta que $\varphi\left(x\right)=\textrm{signo}\left(\sin\left(x\right)\right) $ verifies the conditions and $$\sum_{n\geq2}\frac{\log^{\gamma}\left(n\right)}{n^{2}}<\infty $$ for all $\gamma>0 $. So we have that $$\sum_{n\geq1}\frac{\textrm{signo}\left(\sin\left(nx\right)\right)}{n}. $$ converge en casi todas partes.

En el cero de una heurística argumento puede ser que para todo $M>0 $ exists some $\delta>0 $ such that, if $0<x<\delta $, we have $$M<\sum_{n\geq1}\frac{\textrm{sign}\left(\sin\left(nx\right)\right)}{n}$$ because if $x$ is "small" we have $\textrm{sign}\left(\sin\left(nx\right)\right)=1$ and so, since $\sum_{n\geq1}\frac{1}{n}$ diverges, we can find a sufficient small $\delta$ such that the series is bigger than every fixed $M$ y las aportaciones negativas son demasiado "pequeño" para un significativo cancelación.

Answer 2

La serie sin duda converge al $x$ es un racional múltiples de $\pi$, decir $x=p\pi/q$ donde $p/q$ es en términos mínimos. Aquí es un esquema de una prueba de ello el uso de Dirichlet de la prueba.

Los números $$\alpha_k = k\,\pi\frac{p}{q} \mod 2\pi$$ forma un grupo bajo la suma. En particular, cada elemento de a $\alpha$ tiene un inverso aditivo $\beta$ con la propiedad de que $\sin(\alpha)=-\sin(\beta)$. Como resultado, la secuencia de $(\alpha_k)_k$ es periódica con el mismo número de positivos y negativos en un período. Por lo tanto, si definimos $$b_n = \text{sign}(\sin(n\pi p/q)),$$ es fácil ver que la secuencia $$S_N = \sum_{n=1}^N b_n$$ está acotada. Ahora podemos aplicar de Dirichlet de la prueba (como se indica en el enlace de arriba) el uso de $a_n=1/n$.

Tengo la sospecha de que un argumento similar se va a trabajar para irracional múltiplos de $\pi$ utilizando distribución uniforme de la $nx\mod 2\pi$. También sospecho que tal argumento podría ser muy difícil y depende de lo bien que approximable $x/\pi$ es por racionales.

Volviendo a la racional múltiplos de $\pi$, estos tipos de secuencias puede ser calculado en forma cerrada con varios trucos que implican transformaciones de la secuencia armónica. En $x=\pi/2$, por ejemplo, la serie se reduce a $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots = \frac{\pi}{4}.$$ En $x=2\pi/3$, la suma es $$\sum _{n=0}^{\infty } \left(\frac{1}{3 n+1}-\frac{1}{3 n+2}\right) = \frac{\pi }{3 \sqrt{3}}.$$ Hay una diferencia clave entre estos dos series, sin embargo. Para la primera tenemos $$\left\{\text{sign}(\sin(n\pi/2))\right\}_{n=1,2,3,4} = \{1,0,-1,0\}.$$ que tiene dos ceros. Números cercanos a $\pi/2$, pero sólo un poco menos de inicio con el patrón de $\{1,1,-1,-1\}$. Números muy cerca y a menos de $\pi/2$ mantener este patrón en la suma de un largo tiempo y resultar en una suma cercana a $$\sum _{n=0}^{\infty } \left(\frac{1}{4 n+1}+\frac{1}{4 n+2}-\frac{1}{4 n+3}-\frac{1}{4 n+4}\right) = \frac{1}{4} (\pi +\log (4)) \approx 1.13197.$$ Números cercanos a $\pi/2$ y justo por encima de la voluntad de producir una suma cercana a $$\sum _{n=0}^{\infty } \left(\frac{1}{4 n+1}-\frac{1}{4 n+2}-\frac{1}{4 n+3}+\frac{1}{4 n+4}\right) = \frac{1}{4} (\pi -\log (4)) \approx 0.438825.$$ Esto conduce a la aparición de un salto de discontinuidad en $\pi/2$ cuando el valor real es, de hecho, entre los dos.

Para $x=2\pi/3$, por el contrario, hemos $$\left\{\text{sign}(\sin(2n\pi/3))\right\}_{n=1,2,3} = \{1,-1,0\},$$ que tiene un solo cero. Para los valores de $x$ cerca de $2\pi/3$, pero sólo un poco menos, se inicia la secuencia $\{1,-1,-1\}$ y podemos hacer las sumas parciales como los grandes en valor absoluto, como nos gusta (pero negativo) por la elección de $x$ a estar lo suficientemente cerca de a $2\pi/3$. En el otro lado de la $2\pi/3$ la secuencia es $\{1,-1,1\}$ y hemos similares, pero el comportamiento positivo. Esto conduce a la aparición de una asíntota como característica de a $2\pi/3$.

Tenga en cuenta que estos argumentos no son completas. El argumento cerca de $2\pi/3$ es muy parecida a la de Marco argumento cerca de cero. Análisis detallado para irracional múltiplos de $\pi$ es probable que sea muy sensibles y requieren un gran conocimiento de la distribución uniforme de las secuencias de mod $2\pi$. También sospecho que ambos comportamientos son genuinos y densa en la recta real.

Por último, no creo que la dimensión fractal es un razonables concepto a aplicar aquí. Mientras que ciertas partes de la gráfica parecerse a otras partes, auto-similares a los conjuntos y sus generalizaciones son conjuntos compactos. Este conjunto no es ni cerrado ni acotada. Ni similitud dimensión ni cuadro de conteo de dimensión será bien definido aquí. Dimensión de Hausdorff, supongo, ser definido. Yo no creo que sea probable que sean fáciles de calcular, sin embargo. La dimensión de Hausdorff de Weiestrass de la función es una pregunta abierta.

Answer 3

Aunque ya he seleccionado una de las excelentes respuestas de arriba, pensé en publicar una respuesta que me di cuenta de que una de las preguntas que planteé en el post original, a saber: "me imagino que es diverge como $x\rightarrow 0_+$. ¿Cómo divergen allí?"

Así que, como se señaló anteriormente, el plazo $\mathrm{sign}(\sin(n x))$ es una onda cuadrada con un periodo $2\pi/n$. Supongamos $x/\pi$ es irracional. A continuación, $\mathrm{sign}(\sin(n x))$ es siempre -1 o +1, nunca es 0. Definir $$ \phi(x,k) = \left\lfloor \frac{k\pi}{x} \right\rfloor $$ como el entero más pequeño tal que $\phi(x,k) \, x < k \pi$. La definición de $H_m$ $m^{\mathrm{th}}$ número armónico, la serie original se pueden dividir en finito positivo y negativo de las subsecuencias de términos de la forma $\pm 1/n$ y reescribe como \begin{align} f(x) &= \sum_{n = 1}^{\phi(x,1)} \frac{1}{n} \;-\;\sum_{n = \phi(x,1)+1}^{\phi(x,2)} \frac{1}{n} \;+\;\sum_{n = \phi(x,2)+1}^{\phi(x,3)} \frac{1}{n} \;-\; ...\\ &= H_{\phi(x,1)} - \left(H_{\phi(x,2)} - H_{\phi(x,1)}\right)+ \left(H_{\phi(x,3)} - H_{\phi(x,2)}\right) - ...\\ &= H_{\phi(x,1)} \;+\; \sum_{n = 1}^{\infty}{(-1)}^n\left(H_{\phi(x,n+1)} - H_{\phi(x,n)}\right) \end{align} para irracional $x/\pi$. De hecho, esta última expresión puede ser usada para calcular la función original. Aunque este número armónico representación es aparentemente sólo válido para irracional $x/\pi$, parece que la superposición de la función original muy bien, como se muestra a continuación:

Ahora, en cuanto a la divergencia de pequeño $x$. Al $x$ es pequeña, $\phi(x,n)$ se hace más grande, y tenemos \begin{align} H_{\phi(x,n)}&\approx \ln\left(\phi(x,n)\right) + \gamma\\ &= \ln\left(\left\lfloor \frac{n\pi}{x} \right\rfloor\right) + \gamma\\ &\approx \ln\left(\frac{n\pi}{x}\right) + \gamma\, . \end{align} La expresión anterior para $f(x)$ se reduce entonces a $$ f(x) \approx \ln\left(\frac{\pi}{x}\right) + \gamma + \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)}^n \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)\, , $$ donde \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)}^n \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) &= \ln\left(\prod_{n=1}^{\infty}\left(1 - \frac{1}{4n^2}\right)\right)\\ &= \ln\left(\frac{2}{\pi}\right)\qquad \text{By the Wallis product}\, . \end{align} El pequeño-$x$ aproximación se reduce entonces a $$ f(x) \aprox -\ln x \;+\; \gamma \;+\; \ln 2\, . $$ Este se representa a continuación junto con la función original. Así que la respuesta es: Una divergencia logarítmica como $x\rightarrow 0_+$.