[2016-07-25]: Sección de Geometría Diferencial añadido.
Aunque OP reducido el post, todavía hay muchos de los más importantes hechos históricos que deben ser abordadas de manera adecuada de responder a la pregunta, de lo que puedo dar en esta respuesta. Sin embargo, aquí están algunos aspectos que podrían ser interesantes.
Por lo menos vamos a ver, OP tiene razón cuando piensa que muchos de los candidatos diferentes definiciones de colectores compitieron para ser el más adecuado.
Empezamos con la pregunta (5), los buenos libros de abordar la historia de la geometría diferencial/topología.
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Una Historia de la Algebraica y Diferencial Topología de 1900 - 1960 por Jean Dieudonné.
Recomiendo encarecidamente este libro, que ofrece una gran cantidad de información histórica, así como los detalles técnicos. La mayoría de es, lamentablemente, más allá de mi alcance, pero es genial para mí, al menos, una visión del desarrollo emocionante cuando se va a través de algunas partes del libro.
En lo que sigue me voy a centrar en OPs pregunta (1) y proporcionar algunas pequeñas muestras de texto en su mayoría citado textualmente del libro.
Como podemos leer en el capítulo I, el moderno desarrollo se inició con el trabajo de Poincaré. Fue su primer papel largo Análisis Situs, publicado en 1895 y seguido por cinco llamados Complementa entre 1899 y 1905.
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El Trabajo de Poincaré
[ch 1, § 1.] Conceptos y resultados pertenecientes a algebraica y diferencial topología puede ya observarse en los siglos xviii y xix, pero no se puede decir que constituyen una disciplina matemática en el sentido usual de la palabra.
Antes de Poincaré por lo tanto, debemos hablar sólo de la prehistoria de la topología algebraica; ...
Pero tenga en cuenta que topológica del espacio aún no ha sido definido en ese momento. Pero algunos intuitiva de la noción de colectores ya estaba disponible.
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Por supuesto, antes de Frèchet (1906) y Hausdorff (1914) el general de la noción de espacio topológico no se habían definido;
lo que se había familiarizado después de que el trabajo de Weierstrass y Cantor fueron los elementales nociones topológicas (bloques abiertos, conjuntos cerrados, barrios, continua asignaciones, etc.) en los espacios de $\mathbb{R}^n$ y sus subespacios;
estas nociones se había extendido por Riemann (en una intuitiva manera y sin ninguna definición precisa) a $n$-dimensiones de los colectores (o, más bien, lo que ahora llamaríamos $C^r$-colectores con $r\geq 1$).
En este capítulo me Dieudonné examina más detallada de Poincaré del Análisis Situs. Él explica que Poincaré fue el primero que introdujo la idea de la computación con topologial objetos, no sólo con números. Más importante que introdujo los conceptos de homología y grupo fundamental.
Con respecto a los colectores también encontramos:
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Poincaré apeló al concepto de orientado al colector por Klein para superficies y generalizado por von Dyck para los colectores de dimensión arbitraria. En el Análisis Situs, Poincaré dio una caracterización de orientables colectores por lo que todavía es uno de los criterios modernos:
existen gráficos de $(U_\lambda,\psi_{\lambda})$ de manera tal que el transitition diffeomorphisms $$\psi_{\lambda}\left(U_\lambda\cap U_{\mu}\right)\rightarrow\psi_{\mu}\left(U_{\lambda}\cap U_{\mu}\right)$$ have positive determinants for all pairs of indices such that $U_{\lambda}\cap U_{\mu}\neq \emptyset$.
Pero más tarde Dieudonné direcciones también algunos puntos débiles en relación con esta definición. De hecho no vamos a encontrar algunos de final de la definición del término colector por Poincaré como podemos leer en el siguiente párrafo. Sin embargo, el alcance del carácter de su obra es tremenda:
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... Como en muchos otros de sus papeles, él dio rienda suelta a su poder imaginativo y su extraordinaria intuición, que sólo muy rara vez se lo llevó por el mal camino; en casi todas las secciones es una idea original.
Pero no debemos buscar definiciones precisas, y a menudo es necesario adivinar lo que él tenía en mente al interpretar el contexto. ...
Así termina este fascinante y exasperante de papel, que, a pesar de sus deficiencias, contiene los gérmenes de la mayoría de los desarrollos de la homología durante los próximos 30 años.
En la sección I. § 4 Dualidad y la Intersección de la Teoría de Colectores hay una subsección $A$ titulado con
La Noción de Colector de
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[ch 1, § 4.A] Después de la invariancia problema había sido resuelto, dos de los principales elementos que se mantuvo en la implementación del programa esbozado por Poincaré: una rigurosa prueba del teorema de dualidad y una teoría completa de la intersección apenas comenzado por Poincaré.
Obvio ejemplos muestran que en ninguno de los dos pregunta ¿puede el uno trabajar con un celular general complejas; algunas restricciones tienen que ser introducidos con el fin de poner a disposición de los argumentos de Poincaré utilizado para sus colectores.
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Mientras tanto, en el fin de utilizar simplicial métodos, topologists tuvo que conformarse con la más dócil de las definiciones de los colectores. De hecho, diversas definiciones que se han propuesto ([308], pp 342-343);
Dieudonné se refiere aquí a la Topología Algebraica por S. Lefschetz de 1942. Podemos encontrar $9$ diferentes tipos de colectores, todos de los que se supone que ser $n$-dimensional.
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Combinatoria colectores: Vamos a $X=Y-Z$ ser un simple complejo, donde $Y$ está cerrada simple y $Z$ es un cerrado subcomplejo de $Y$. Decimos que $X$ es un orientable combinatoria colector cuando las dos condiciones siguientes se cumplen.
(1) El doble de $X^\star$ $X$ tiene un circuito cerrado simple débil isomorph $\overline{X}$.
(2) Si $x,x^\prime$ son elementos distintos de a$X$, $\text{Cl } x \cap \text{St } x^\prime$ es acíclicos o nula.
Que puede ser finita o infinita, absoluta o relativa, orientable o no-orientable, simplicial o meramente simples complejos.
Geométrico de los colectores: Euclidiana realizaciones de la anterior simplicial tipos.
Colectores en el sentido de Brouwer: Euclidiana complejos tales que la estrella de cada vértice es isomorfo con un conjunto de simplexes en Euclidiana $\mathcal{E}^n$ que tienen un vértice común $P$ y un barrio de $P\in\mathcal{E}^n$.
Colectores en el sentido de Newman: Euclidiana complejos tales que si $a$ es un vértice $\text{St} a = aB$, $B$ es la partición equivalente a un $(n-1)$-esfera.
Colectores en el sentido de Poincaré y de Veblen: Topológica complejos tales que cada punto tiene para el barrio una $n$-célula.
Topológico colectores: Una $M^n$ de este tipo es separable espacio métrico con una contables localmente finito abierto que cubre consta de $n$-de las células. Notable casos especiales: $C^r$-colectores, diferenciable colectores, analítica, colectores, $\Gamma$-colectores, grupo de colectores.
Generalizada colectores: Localmente compacto espacios discutido por Čech, Lefschetz, Wilder y otros, y que se caracteriza por ciertas propiedades de la llamada conexión local o locales, de conexión, en el sentido de homología y también por la propiedad: cada punto es $n$-cíclico.
Pseudo-colectores: Este término ha sido aplicado por Brouwer y otros autores a lo que hemos llamado una simple geométricas $n$-circuito.
Colectores de grado $p$: Simplicial $n$-complejos, investigado por Čech, y que se comportan como un $M^n$ sólo en cuanto a las dos consecutivos dimensiones $p-1,p$.
Por supuesto, esta respuesta apenas toca la superficie de la información proporcionada en J. Dieudonné del libro. ... curioso? :-)
Un buen estudio histórico es El Concepto de Colector, 1850-1950 por Erhard Scholz. La sección 5 está dedicada al desarrollo de la moderna colector de concepto. En la subsección 5.4 se describe el nacimiento de la "moderna" axiomática " en la geometría diferencial.
La Geometría Diferencial
Hubo, por supuesto, siguen otra línea de investigación, más ligado a la geometría diferencial, donde los colectores jugado un papel esencial, y puramente topológico aspectos (independientemente de si continua, combinatoria, o homológica) no es suficiente y todavía necesita de la elaboración. ...
y más tarde en
Whitehead y Veblen presentó su caracterización axiomática de colector de clase $G$ primero en un artículo de investigación en los Anales de las Matemáticas (1931) y en la forma final en su tratado acerca de los Fundamentos de la Geometría Diferencial (1932).
Su libro ha contribuido eficazmente a una de normalización conceptual de la moderna geometría diferencial, incluyendo no sólo los conceptos básicos de la continua y diferenciable colector de diferentes clases, pero también la moderna reconstrucción de los diferenciales $dx=(dx_1,\ldots,dx_n)$ como objetos en tangente espacios a $M$.
Conceptos básicos como métrica de Riemann, afín de conexión, holonomy grupo, cubriendo los colectores, etc. seguido en un formal y simbólico de precisión que incluso desde la lógica estricta de los estándares de la década de 1930-s no quedó ninguna duda acerca de la wellfoundedness de la geometría diferencial de variedades.
