El problema parece ser sorprendentemente depende de la precisión que las suposiciones que hemos de hacer. Considere, por ejemplo, esta curva
![plot of the curve defined by]()
$ \kern-2em\displaystyle \gamma(t) = \begin{cases}
\langle \max(t,-1),t \rangle & t \le 0 \\
\langle t,\frac34 t \sin(5 \log(t)) \rangle & 0 < t \le 1 \\
\langle \cos(t-1)),\sin(t-1) \rangle & 1 \le t \le 1+\pi \\
\langle -1, t-1-\pi \rangle & 1+\pi \le t
\end{casos} $
Este es un continuo de la curva con un Lipschitz continua de la parametrización (la derivada de $t\sin(\log(t))$ es limitado) y es por lo tanto subsanables. Y los extremos están en direcciones opuestas, como se requiere.
Sin embargo, la escalera no se puede mover de forma continua a lo largo de la curva.
Imaginar que se mueve de los altos valores de los parámetros a la baja. Cada vez que el delantero es uno de los puntos donde la curva toca la parte superior de la línea roja ($y=\frac34x$), la vuelta final tendrá que ser de todo punto de $A$ sobre el arco circular, ya que es el único lugar en la curva detrás de la parte delantera, que tiene el derecho de distancia de ella. ($A$ es el centro de la radio-$1$ círculo que ha $y=\frac34x$ como la tangente en el origen).
Por el contrario, cuando el extremo delantero es uno de los puntos donde la curva toca el inferior de la línea roja, la parte final debe ser de alrededor de $B$. Desde el frente oscila entre las dos líneas rojas infinitamente muchas veces antes de llegar al origen, por lo que debe la parte final oscilar entre el$A$$B$. Pero eso significa que la posición de la parte final no tienden a un límite , mientras que el extremo delantero enfoques $(0,0)$, por lo que un continuo movimiento de la escalera es imposible.
(Los factores de $\frac34$ $5$ sólo están ahí para permitir que el diagrama muestra suficiente de la menea para dejar claro lo que está pasando. Funcionaría igual de bien con $t\sin(\log t)$$\frac 34t\sin(5\log t)$, sólo que no tan visiblemente. Es importante mantener el más grande de los meneos de que se extiende más allá del círculo unidad, a pesar de que -- de lo contrario el argumento acerca de que la parte final de la escalera tiene que ser no funcionará).
Que requieren de la curva (a trozos) liso probablemente evitar este tipo de problemas.
$ \kern-2em\displaystyle \gamma(t) = \begin{cases}
\langle \max(t,-1),t \rangle & t \le 0 \\
\langle t,\frac34 t \sin(5 \log(t)) \rangle & 0 < t \le 1 \\
\langle \cos(t-1)),\sin(t-1) \rangle & 1 \le t \le 1+\pi \\
\langle -1, t-1-\pi \rangle & 1+\pi \le t
\end{casos} $
