Relación entre la Dedekind Zeta Función Cuadrática y la Reciprocidad

Question

Yo estaba tratando de aprender un poco acerca de la Dedekind zeta función. El primer lugar que me miraba era, obviamente, el artículo de la Wikipedia sobre. Así que mi pregunta viene de una frase al final del artículo en la sección de relaciones con otros L-funciones. Que la sección de los estados que si usted tiene un abelian extensión $K/\mathbb{Q} \,$, entonces el Dedekind función zeta de $K$ es un producto de Dirichlet L-funciones.

En particular, se establece que si $K$ es una ecuación cuadrática de campo, a continuación, la relación de

$$\frac{\zeta_K (s)}{\zeta(s)} = L(s, \chi)$$

o, equivalentemente, que $$\zeta_K (s) = \zeta(s) L(s, \chi)$$

donde $\zeta(s)$ es la de Riemann zeta función y $L(s, \chi) \,$ es la de Dirichlet L-función asociada a la de Dirichlet carácter definido por el símbolo de Jacobi de la siguiente manera. Si $K = \mathbb{Q}(\sqrt{d}) \, $ y $D$ es el discriminante de este campo de número, a continuación,

$$\chi(n) := \left ( \frac{D}{n} \right )$$

A continuación, el artículo de la Wikipedia dice lo siguiente:

Que la función zeta de una ecuación cuadrática de campo es un producto de la Riemann zeta función y un cierto Dirichlet L-función es una analítica de formulación de la reciprocidad cuadrática de la ley de Gauss.

Esto se fueron, me quedé totalmente sorprendido, porque aunque he visto en el pasado que la existencia de Euler del producto para la de Riemann zeta función es equivalente a la única factorización de la propiedad de los enteros, que al parecer también se refleja más en general, en el contexto de Dedekind zeta funciones y campos de número, esta vez dio cuenta de que la única factorización de los ideales en los productos de primer ideales, acabo de encontrar maravilloso que estas dos cosas puede ser equivalente (en algún sentido que yo aún no lo sé).

Así que mi pregunta es ¿por qué es esto de la analítica de hecho acerca de la Dedekind zeta función de una ecuación cuadrática campo de número,

$$\zeta_K (s) = \zeta(s) L(s, \chi)$$

una analítica de la reformulación de la ley de la reciprocidad cuadrática?

Y tal vez, si es posible, para empujar un poco más, hay análogos de esto, decir que para la mayor reciprocidad de las leyes, como por cúbicos o biquadratic reciprocidad? O se trata de una "peculiaridad" que se produce sólo para cuadrática campos?

Muchas gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Esto no es una respuesta a todas sus preguntas, pero de todos modos.

$\zeta_K(s)=\sum N(\mathfrak{a})^{s}=\prod_\mathfrak{p} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{s}}$. En el producto tenemos $\frac{1}{1-p^{s}}$ para cada primer dividiendo $D$, $\frac{1}{(1-p^{s})^2}$ para cada prime que se divide en $K$, es decir, tales que $D$ es un cuadrado mod $p$ y $\frac{1}{1-p^{-2}}= \frac{1}{(1-p^{s})(1+p^{s})}$ para cada prime que no dividida.

Para cada primo, el factor es de mus $\frac{1}{1-p^{s}}\frac{1}{1-(\frac{D}{p})p^{s}}$. El producto a través de todos los números primos es de mus $$\zeta(s)\,\prod_p \frac{1}{1-(\frac{D}{p})p^{s}}$$ y su ecuación se convierte en $$L(s,\ji)=\prod_p \frac{1}{1-(\frac{D}{p})p^{s}}.$$

La función $\chi$ en $L(s,\ji)=\sum_n \chi(n) n^{s}$ es un (cuadrática) de Dirichlet carácter modulo $D$, es decir, es un grupo de morfismos $(\mathbb{Z}/D\mathbb{Z})^\times\a\{+1,-1\}$, que luego se extendió a una función $\mathbb{Z}\\{0,+1,-1\}$ por $\chi(n)=0$ si $(n,D)\neq1$. Desde $\chi$ es multiplicativo, tenemos $$L(s,\ji)=\prod_p \frac{1}{1-\chi(p)p^{s}} .$$ Por lo tanto, de hecho tenemos $$\chi(p)=\left(\frac{D}{p}\right).$$ Esto implica que $(\frac{D}{p})$, depende de p $$ solo modulo $D$ - algo que no es evidente en absoluto a partir de su definición, sino una fácil consecuencia de la reciprocidad cuadrática. Si, en particular, $D=(-1)^{(p-1)/2} q$ (donde $p$ es primo), a continuación, sólo hay una cuadrática carácter de Dirichlet, es decir, $\chi(n)=(\frac{n}{p})$. Por tanto, tenemos $$\left(\frac{p}{q}\right)=\left(\frac{(-1)^{(p-1)/2}\, q}{p}\right)$$ es decir, la reciprocidad cuadrática.