Isomorfismos sorprendentes

Question

Sólo como tema recreativo, ¿qué isomorfismos de grupos/anillos/otras estructuras algebraicas conoces que te parezcan inusuales, o francamente poco intuitivos?

¿Existen estructuras de este tipo que aún no sabemos si son isomorfas o no?

Answer 1

No sé si esto es realmente sorprendente, pero me sorprendió bastante cuando descubrí estos isomorfismos:

• $\mathbb R^n$ y $\mathbb R^m$ son isomorfos como grupos abelianos (donde $n,m \geq 1$ ). De hecho, elija cualquier base Hamel de $\mathbb R^n$ y $\mathbb R^n$ como $\mathbb Q$ espacio vectorial. Ambas bases están en biyección con $\mathbb R$ por lo que cualquier biyección entre ellas da un isomorfismo de $\mathbb Q$ espacios vectoriales, en particular de grupos abelianos.
• Un ejemplo realmente sorprendente (al menos para mí): el grupo libre con un número contable de generadores es isomorfo a un subgrupo de $F_2$ el grupo libre con dos generadores. Este hecho proviene de la cobertura $\sin : X \to X'$ donde $X = \mathbb C \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb Z\}, X' = \mathbb C \setminus \{-1,1\}$ y el hecho más general de que para cualquier cobertura entre espacios agradables los mapas inducidos sobre grupos fundamentales son inyectivos.
• $L^2(\mathbb S^1) \cong \ell^2(\mathbb Z)$ a través de la igualdad de Parseval.
• El espacio $\mathcal M_k$ de formas modulares de peso $2k$ es de dimensión finita (lo que ya no es trivial) y además, si $\mathcal M = \bigoplus_{k \in \mathbb N} \mathcal M_k$ tenemos el isomorfismo de un álgebra graduada $\mathcal M \cong \mathbb C[x,y] $ donde $x$ tiene grado $2$ y $y$ tiene grado $3$ (representan la serie de Eisenstein $G_4(z)$ y $G_6(z)$ respectivamente). ¡Es bastante sorprendente que el álgebra de todas las formas modulares sea simplemente isomorfa a un álgebra de polinomios !
• Por último, un bonito ejemplo: el grupo de isometrías directas que conserva un cubo es isomorfo al grupo simétrico $\mathfrak S_4$ . De hecho, este es exactamente el grupo de permutación de las grandes diagonales $d_1,d_2,d_3,d_4$ del cubo.

Answer 2

Mi favorito, y un ejemplo clásico, es el Automorfismo exterior de $S_6$ que surge de la "coincidencia" de que ${6\choose 2}=15=\frac{1}{2^3}\frac{6!}{3!}$ - es decir, el número de pares (no ordenados) de elementos de $\{1,2,3,4,5,6\}$ es exactamente igual al número de particiones en tres pares. John Baez tiene un buen ensayo que ofrece más detalles sobre cómo se puede definir exactamente el automorfismo.

Answer 3

Una de mis favoritas (y ciertamente una de las cosas que me introdujo en el concepto de isomorfismo, y quizás una obviedad) es el isomorfismo de $\Bbb C$ y $(M, \times)$ , donde $$M = \left\lbrace \begin{pmatrix}a& -b \\ b &a \end{pmatrix} : a, b \in \Bbb R, a^2 + b^2 \neq 0\right\rbrace$$

dado por $\varphi:\Bbb C\setminus\{ 0 \} \to (M, \times)$ con $(a + bi) \mapsto \begin{pmatrix}a &-b\\ b & a \end{pmatrix}.$

Desde el principio se aprende que los números complejos son geométricos por naturaleza, y también se aprende que las matrices codifican características geométricas. Esta fue una buena conexión para mí y, de hecho, fue una de las cosas que me hizo interesarme por las matemáticas en primer lugar.

Answer 4

Considere los grupos $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_p)=\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)/Z$ , $Z$ siendo el centro del grupo. A continuación, $$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_4)\cong \mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_5).$$ Otro ejemplo, considere el subgrupo conmutador de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ es isomorfo al grupo libre en $2$ cartas.

Answer 5

Si $M=\prod_{n=1}^{\infty}\mathbb{Z}$ y $R=\mathrm{End}_{\mathbb{Z}}(M)$ entonces $R\simeq R^2$ como $R$ -módulos.