Si un lanzamiento de la moneda se observa como los jefes muchas veces, hace que afectan a la probabilidad de que el próximo sorteo?

Question

Una moneda de dos caras, sólo ha sido acuñadas con dos lados diferentes (cara y cruz). Nunca ha sido volteado antes. La comprensión básica de la probabilidad sugiere que la probabilidad de salir cara es de .5 y colas .5. Inesperadamente, le da la vuelta a la moneda un número muy grande de veces y siempre cae en la cabeza. Es la probabilidad de salir cara/colas todavía .5 cada uno de ellos? O ha cambiado en favor de las colas debido a que la probabilidad debe tienden a .5 jefes y .5 colas como acercarse a un número infinito de ensayos?

Entiendo que tirar monedas es generalmente un proceso estocástico, pero eso no cambia en absoluto si usted ve un gran número de ensayos sesgo hacia un lado?

Answer 1

Si usted no sabe si es una feria de la moneda para empezar, entonces no es una pregunta tonta. (EDIT) Se pregunta si la moneda estará sesgada hacia Colas para dar cuenta de la totalidad de los jefes. Si la moneda era justo, a continuación, la respuesta de tilper aborda esta bien, con la respuesta "No". Sin la suposición de justicia, en general, la respuesta es "No, y de hecho debemos creer que la moneda está sesgada hacia los jefes.".

Una manera de pensar acerca de esto es que al pensar en la probabilidad de $p$ de la moneda caiga de cara a ser una variable aleatoria. Podemos asumir que no sabemos absolutamente nada acerca de la moneda para empezar, y tomar la distribución de $p$ a ser una variable aleatoria uniforme sobre $[0,1]$. Luego, después de darle la vuelta a la moneda de un cierto número de veces y la recogida de datos, podemos cambiar nuestra distribución en consecuencia.

De hecho, hay una distribución que hace exactamente esto, se llama la Distribución Beta, que es una distribución continua con función de densidad de probabilidad $$f(x) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}$$ donde $\alpha-1$ representa el número de cabezas que hemos grabado y $\beta-1$ el número de colas. El número de $B(\alpha,\beta)$ es sólo una constante para normalizar $f$ (sin embargo, en realidad, es igual a $\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$).

El siguiente gráfico (desde el artículo de la wikipedia) muestra cómo $f$ cambios con diferencia las opciones de $\alpha,\beta$:

Como $\alpha \to \infty$ (es decir, sigue obteniendo más cabezas) y $\beta$ se mantiene constante (a continuación elegí $\beta=5$), esto se convertirá en muy sesgada en favor de las $p$ estar cerca de $1$.

Answer 2

Que haya entrado en el reino de la Bayesiano comparación estadística frecuentista. La filosofía Bayesiana es más atractivo para mí en la comprensión de esta cuestión.

Su "comprensión básica de la probabilidad" puede ser interpretado como una expectativa previa de lo que la distribución de la cabeza y la cola debe ser. Pero que antes de la expectativa de hecho es en sí mismo un probabilística de la expectativa. Permítanme darles algunos ejemplos de lo que su expectativa previa (llamado el Bayesiana anterior) podría ser:

1) Su anterior podría ser que la frecuencia de los jefes es exactamente $0.5$ no importa qué. En ese caso, no hay ningún número consecutivo de cabeza o cola batido que a priori certeza, y la respuesta es que su posterior estimación de la distribución es que es $0.5$ cabezas.

2) Su anterior podría ser que la probabilidad de cara es una distribución normal con media de $0.5$ y la desviación estándar $0.001$ -- usted está bastante seguro de que la moneda va a estar muy cerca de la feria. Ahora por el momento en que la moneda tiene aterrizó en la cabeza 100 veces consecutivas, la posterior estimación de la distribución es el pico bruscamente en torno a $0.995$. Su Bayesiana anterior ha permitido que la evidencia experimental para modificar sus expectativas.

El enfoque alternativo es frequentists. Que dice "pensé que (hipótesis nula) de que la moneda era justo. Si eso fuera cierto, la probabilidad de este resultado no de las colas en un centenar de lanzamientos es muy pequeña. Así, puedo rechazar la hipótesis original y a la conclusión de que esta moneda no es justo.

La debilidad del enfoque Bayesiano es que el resultado depende de la expectativa previa, que es algo arbitrario. Pero cuando muchos de los procesos involucrados, de una sorprendente gama de posibles priores de plomo muy similares a posteriori de las expectativas.

La debilidad del enfoque frecuentista es que al final, usted no tiene ninguna expectativa, sólo la idea de que su hipótesis nula es raro.

Answer 3

Es la probabilidad de salir cara/colas todavía .5 cada uno de ellos?

Si usted ya tenía la hipótesis de que la moneda es justo, entonces sí. Aunque estadísticamente es muy probable que voltear cabezas, un "número muy grande de los tiempos" en una fila, la probabilidad de no ser cambiado por los últimos resultados. Esto es debido a que cada lanzamiento de la moneda es independiente de todos los demás lanzar una moneda.

O ha cambiado en favor de las colas debido a que la probabilidad debe tienden a .5 jefes y .5 colas como acercarse a un número infinito de ensayos?

Que ya se haya respondido anteriormente, pero aquí hay más detalles. La ley de los grandes números (LLN) dice que si lanzamos una moneda no trucada un montón (miles, millones, miles de millones, etc.) de veces en una fila, la de los resultados debe ser aproximadamente la mitad de los jefes y la mitad de las colas. Pero LLN no dice nada acerca de la probabilidad de que el siguiente (o cualquier) de prueba.

Answer 4

La probabilidad es un modelo matemático. Usted necesidad de separar el proceso de modelado de la aplicación del modelo.

Podemos modelo de un sorteo por una de dos elementos de probabilidad espacio {H,T}, con una probabilidad de 0.5 asignados a cada elemento. Si la muestra 100 veces a partir de este espacio de probabilidad, y obtener 100 cabezas, entonces la probabilidad de un jefe en el siguiente muestreo es de 0,5. Las probabilidades se asignan en el set-up de la modelo y que no cambian.

La pregunta por lo tanto puede ser reformulado desde "Es la probabilidad de lanzar una Cabeza de 0,5?" a "Es el modelo apropiado para esta moneda?" Esto permite separar los puramente matemáticos parte de esto desde el proceso de modelización.

Para la modelización de la respuesta a la pregunta de enfoque Bayesiano tendría más sentido para mí. Sería necesario cuantificar su confianza en que antes de la asunción (que un 0.5:0.5 modelo es adecuado) de alguna manera. Dado que las diferentes personas que tienen diferentes niveles de confianza, es natural que las diferentes personas que acabaría con diferentes opiniones acerca de la idoneidad del modelo. El enfoque Bayesiano permite cuantificar lo que Carl Sagan entiende por "afirmaciones Extraordinarias requieren pruebas extraordinarias".

Answer 5

Si bien sabemos que la proporción de jefes obtenemos de lanzar una feria de la moneda debe ser aproximadamente la mitad, que vale la pena mirar la cantidad esperada de desviación:

Si usted lanza una moneda de un millón de veces, es bastante raro para obtener exactamente la mitad de un millón de cabezas: que sucede con menos de 0.1% de probabilidad! Incluso teniendo el error de ser 100 o menos es raro: que sucede con alrededor de 16% de probabilidad.

De hecho, si usted lanza una moneda $n$ veces que, en promedio, el promedio de la cantidad de error* es de alrededor de $\sqrt{ \frac{n}{2 \pi} }$.

Así, supongamos que usted lanza una moneda 100 veces en una fila y consiguió cabeza cada vez — un resultado sorprendente diciendo que tienes 50 extra jefes de la media. Si luego continuó a la vuelta de un millón de veces más... por que punto el tamaño promedio del error es de alrededor de 1596, por lo que el extra de 50 lanzamientos no se nota en absoluto más.

Así que si usted consigue un sorprendente número de cabezas en sus inicios, la moneda tiene absolutamente ninguna necesidad de ser sesgada hacia voltear colas en orden para el futuro de las estadísticas que se comportan como una feria de la moneda hace normalmente.

*: Más precisamente, esto es (aproximadamente) el valor esperado de $|H - \frac{n}{2}|$ donde $H$ es el número de cabezas.