Hace multiplicando todos de un número de raíces en conjunto dan un producto de infinito?

Question

Esta es una de matemáticas recreativas pregunta que yo pensaba, y yo no se puede ver si la respuesta ha sido abordada.

El lado positivo, un número real mayor que 1, y multiplicar todas sus raíces. La raíz cuadrada, multiplicado por la raíz cúbica, multiplicado por la raíz cuarta, multiplicado por la quinta raíz, y hasta el infinito.

La razón es que es un puzle que, mientras que la multiplicación de un número positivo por un número mayor que 1 siempre conducirá a un mayor número de las raíces mismas son siempre más pequeño. Mi intuitiva conjetura es que el producto va a ir hacia el infinito, podría ser que el producto es finito.

También pido disculpas que como un simple matemáticas recreativas entusiasta, tal vez yo no la frase esta pregunta a la perfección.

Answer 1

Esta es una pregunta interesante, pero gracias a las propiedades de la exponenciación, que puede ser fácilmente resuelto de la siguiente manera: $$\prod_{k\ge1}\sqrt[k]{n}=\prod_{k\ge1}n^{1/k}=n^{\sum_{k\ge1}\frac{1}{k}},$$ y como el exponente diverge (serie Armónica) la expresión completa se aleja, mientras $n>1$.

EDIT: la primera igualdad es la definición. Para la segunda igualdad tenemos que argumentar por qué uno puede pasar el límite.

En otras palabras: para cualquier fija $N$ la igualdad $$\prod_{k=1}^N n^{1/k}=n^{\sum_{k=1}^N \frac{1}{k}},$$ es válido, pero ¿por qué es que $$\lim_{N\rightarrow \infty}n^{\sum_{k=1}^N \frac{1}{k}}=n^{\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^N \frac{1}{k}}\quad ?$$ En este caso particular es una consecuencia del hecho de que el mapa de $x\mapsto n^x$ diverge a $+\infty$ $x\rightarrow +\infty$ y por abuso de notación podemos escribir la $n^{+\infty}=+\infty$

Si por el contrario el exponente llegaban a un límite finito, como por ejemplo en el caso mencionado en el comentario de IanF1, entonces esto sería una simple consecuencia del hecho de que el mapa de $x\mapsto n^x$ es continua.

Answer 2

Lo que describes puede ser escrito como $$\prod_{n=1}^\infty{x^{1/n}}=x^1\times x^{1/2}\times x^{1/3} \times x^{1/4}...$$ Porque para multiplicar un número de varias potencias es equivalente a la adición de sus poderes, esto puede escribirse como $$x^{y}$$ where $$y={\sum_{n=1}^\infty{1/n}}$$

Si sólo se suman a la primera $m$ términos de esta, obtenemos lo que se llama el $m$ésimo número armónico. La armónica número 1, 3/2, 11/6, 25/12, ... Cada uno es aproximadamente tan grande como el logaritmo natural de $m$.

Sin embargo, ya que estamos agregando infinitamente que nos estamos dirigiendo hacia el "pasado" o "más alto" número armónico. Lamentablemente, no existe mayor número armónico y no hay ningún punto en el que obtener cada vez más cerca de algún número finito de modo que en cierto sentido se dirige hacia las $x^\infty$.

Decimos que una serie como esta, es decir, que no convergen en algún número finito "no converge". Y esto hace que sea muy difícil de cuantificar su tamaño de una manera significativa.

Sin embargo sin embargo, si usted desea obtener una idea de qué tan rápido se aleja, se puede imaginar que el producto de la primera $m$ números es aproximadamente igual a:

$$x^{\log_e{m}}$$

Por lo que si había algún número $p$ que mide el número de "infinito" términos que se están multiplicando juntos, entonces usted podría imaginar que su número es, en cierto sentido muy limitado $$x^{\log{p}}$$

A partir de esta se puede observar que si se permitiera $x=e$, entonces la serie es igual a $p$, por lo que en un sentido que alcanza el infinito, a la misma velocidad que agregar términos. Para $x=2$ que va a la $m$ en aproxima a infinito, y para $x\geq3$ está delante de $m$ en aproxima a infinito.

Answer 3

Mientras que las otras respuestas son válidas, tienden a referirse a los previamente establecidos, los resultados, los cuales (en un contexto de recreación) es un poco frustrante. Así que aquí es un equipo autónomo de respuesta, para aquellos que prefieren ese tipo de cosas.

Primer paso: $$a^{1/2}\times a^{1/3}\times a^{1/4}\times…=a^{1/2+1/3+1/4+…}$$

Segundo paso:$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+…\text{equals:}$$ $$\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}$$ $$…+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\gt\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$ $$…+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\gt\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$$ $$\text{…and so on.}$$

Es decir, $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+…$ se compone de infinidad de piezas, cada una de las cuales es mayor que $\frac12$. Por lo que agrega hasta el infinito, y así $$a^{1/2}\times a^{1/3}\times a^{1/4}\times…\text{ or}$$ $$a^{1/2+1/3+1/4+…}$$ is infinite if $a>1$, zero when $un<1$, and $1$ when $a=1$.

Y no $\sum$ señal en cualquier lugar para ser visto!