¿Por qué no hay ninguna métrica natural sobre colectores?

Question

Una de las cosas que siempre me molestó después de aprender introductorio de la geometría diferencial (como un estudiante de física) y, a continuación, profundizar en este campo por mi cuenta es que, la construcción habitual de los diferenciales de los colectores son tales que $M$ $n$- dimensiones del colector de si es 1) un Hausdorff-espacio, 2) es localmente homeomórficos a $\mathbb{R}^{n}$, 3) la transistion de funciones entre los gráficos son invertable y continuo/diferenciable/analítica etc. dependiendo del tipo de colector.

Ahora como tengo entendido, norma, métrica, etc. son propiedades topológicas y homeomorphisms son mapas que preservar la estructura topológica. Sin embargo, la métrica es un extra de la estructura de un colector, que no forman parte de un colector dado de propiedades. Pero si los colectores son localmente homeomórficos a un conjunto que tiene una muy fuerte estructura topológica, incluyendo una métrica ( $\mathbb{R}^{n}$ ), entonces ¿por qué es que la estructura no se conserva localmente?

En segundo lugar, lo que probablemente esté relacionado con esto, si la transición de las funciones son diferenciables, como es exigido para la diferencial de colectores, eso no significa que las coordenadas de los mapas de sí mismos, son también diferenciable? Porque entonces ellos son, básicamente, diffeomorphisms de$M$$\mathbb{R}^{n}$. Y si es así, dada la natural tensor métrico $g$$\mathbb{R}^{n}$, ¿por qué no puede esa métrica ser inducida en el colector a través de la retirada?

Answer 1

En primer lugar, creo que tienes algunos conceptos erróneos acerca de lo que significa ser un "topológico de la propiedad." Un topológico propiedad es una propiedad que se conserva por homeomorphisms. Las normas y las métricas son definitivamente no propiedades topológicas. Por ejemplo, la unidad de la bola en $\mathbb R^n$ es homeomórficos (de hecho, diffeomorphic) a $\mathbb R^n$ sí, pero los dos espacios muy diferentes propiedades métricas. (Uno es limitado y el otro no, por ejemplo). Por supuesto, puede utilizar una métrica para inducir una topología; pero muchos parámetros diferentes inducirá a la misma topología.

En segundo lugar, si $M$ es un buen colector y $\phi$ es una de coordenadas de mapa a partir de un conjunto abierto $U\subseteq M$ a un conjunto abierto $\widehat U\subseteq\mathbb R^n$, entonces sí, $\phi$ es un diffeomorphism de$U$$\widehat U$.

En tercer lugar, dado que una de coordenadas de mapa de $\phi$ como en el anterior, claro que puedes usar el pullback por $\phi$ a inducir una métrica en $U$. Pero tenga en cuenta que esta medida sólo será definido en el subconjunto $U$, típicamente, no en todos los de $M$, y diferentes coordinar las cartas de inducir diferentes métricas. Es por eso que una métrica es una pieza extra de datos que tiene que ser elegido; no se determina intrínsecamente por el buen colector de la estructura.

EDIT: Tu comentario sugiere que estás pensando "de Riemann" como una propiedad que un suave colector podría o no tener. No; al contrario, es una capa adicional de estructura que se puede agregar a un suave colector si queremos.

De hecho, hay cuatro diferentes capas de la estructura de aquí. Tomemos $\mathbb S^2 = \{(x,y,z)\in\mathbb R^3: x^2 + y^2 + z^2 = 1\}$ como un ejemplo. Tiene los cuatro siguientes estructuras:

1. Es un conjunto: Por definición, $\mathbb S^2$ es sólo un cierto conjunto ordenado de triples de los números reales.
2. Podemos hacerlo en un espacio topológico: Mediante la especificación de una topología en $\mathbb S^2$ (que es sólo una determinada colección de subconjuntos de satisfacer ciertas condiciones), lo convertimos en un espacio topológico. Generalmente, cuando se habla de un subconjunto de un espacio Euclídeo, le damos la topología de subespacio: que es, declaramos un subconjunto de a $\mathbb S^2$ a abrir el fib es la intersección de a $\mathbb S^2$ con un subconjunto de a $\mathbb R^3$. Tenga en cuenta que esta topología fue originalmente definido en términos de una métrica (la distancia Euclidiana de la función), pero no vamos a usar esa métrica para otra cosa que decidir qué conjuntos son abiertos. Una vez que haya decidido sobre una topología, podemos notar que esta topología presenta propiedades que lo hacen un topológico colector: es Hausdorff, segundo-contable, y localmente Euclídeo.
3. Entonces nosotros puede hacerlo en un buen colector: tenga en cuenta que "suavidad" no es una propiedad topológica. Si lo fuera, estaríamos sin duda quiere decir que $\mathbb S^2$ es suave; pero $\mathbb S^2$ es homeomórficos a la superficie de un cubo, que probablemente no quiere decir que esté suave. En su lugar, un "suave estructura" es una pieza más de la estructura que tenemos que poner en un colector: es una opción de una colección particular de coordinar los gráficos que se superponen sin problemas. Afortunadamente, debido a la forma en $\mathbb S^2$ se encuentra en $\mathbb R^3$, hay una opción natural de suave estructura, y que generalmente es el que usamos (a menudo sin mencionar que hay una elección).
4. Entonces podemos hacer en un colector de Riemann: "de Riemann" no es una propiedad que un suave colector podría o no tener. En su lugar, una métrica de Riemann es una elección de producto interior en cada espacio de la tangente, de tal manera que varía suavemente de punto a punto. Para $\mathbb S^2$, una opción muy natural es declarar el interior del producto en cada espacio de la tangente a la restricción de la distancia Euclídea producto escalar. Pero no tenemos que elegir este. Por ejemplo, supongamos $M$ ser suave, un hot-dog en forma de la superficie en $\mathbb R^3$, dotado de la métrica de Riemann obtenidos mediante la restricción de la distancia Euclídea producto escalar. Hay un diffeomorphism $F\colon \mathbb S^2\to M$, y también podemos elegir dar a $\mathbb S^2$ la métrica obtenida tirando $M$'s métrica a través de $F$. Cómo definir la métrica depende de lo que sus efectos son.

Una razón por la que es fácil confundirse acerca de estas capas de la estructura es que cuando hay evidencia de que los "naturales" opciones tales como las que he descrito anteriormente, que a menudo no se menciona siquiera que una opción que está siendo hecho. Por ejemplo, si un autor escribe "Vamos a $\mathbb S^2$ ser la unidad de la esfera en $\mathbb R^3$," usted tiene que decidir por el contexto si está pensando como un conjunto, o un espacio topológico con la topología de subespacio, o un suave colector con la inducida por la suave estructura, o como un colector de Riemann con la inducida por la estructura de Riemann.

Usted puede encontrar muchos más detalles acerca de estas cosas en el Capítulo 1 de mi libro Introducción a la Suave Colectores.

Answer 2

"¿Por qué no natural de la métrica en los colectores?"

Creo que de las tres variables físicas, como $p$, $V$, $T$, dependientes los unos de los otros a través de una ley natural $$W(p, V, T)=0\ ,\tag{1}$$ donde $W$ es una expresión explícita en tres variables (es decir, de van der Waals de la' ley) elegido por un profesor de física teórica. La ecuación de $(1)$ define dos dimensiones del colector $\Omega\subset{\mathbb R}^3$, tal vez con singularidades. La teoría de la diferenciable colectores, a continuación, puede describir cómo las variables físicas $p$, $T$, $V$, y sus mutuas derivadas parciales son dependientes unos de otros, etc., e incluso puede describir la naturaleza de la $\Omega$'s singularidades en términos de las propiedades algebraicas de la expresión $W$.

Pero cualquier físico reírse de la idea de una "natural" métrica en esta $(p,V,T)$-colector $\Omega$. Tenga en cuenta que los valores reales de las variables $p,\ V,\ T$ son fuertemente dependientes de las unidades escogidas, y no es dado por Dios si $1^\circ$ de la diferencia de temperatura es del mismo orden de magnitud, como un aumento de volumen de $1\>{\rm cm}^3$. Pero cualquier métrica en $\Omega$ a la vez crea una identificación de las escalas, que es totalmente arbitraria.

Answer 3

Métrica no es una estructura topológica. Solo se puede decir una métrica define una métrica de la topología, o topológico, el colector es metrizable (el metrization teoremas).

1) 2) 3) no aseguran una variedad diferenciable de la estructura, también se necesita el segundo countability axioma.

Usted se beneficiará de local Euclidiana de la propiedad los siguientes:

• locall conectividad: que asegúrese de que conecta el colector es también la ruta de acceso conectado;

• local de compacidad: que, junto con hausdorff axioma y 2º countability asegura paracompactness;

• regular el espacio: como resultado de ser localmente compacto y Hausdorff;

• el espacio normal: como resultado de ser regular y Lindelof;

• metrizable: como resultado de la 2ª contables y regular (Urysohn del metrization teorema)

No dice nada acerca de la métrica de ser único. De hecho, una forma común para la construcción de un mundial métrica de Riemann de las métricas en el local de coordenadas de los gráficos es el uso de la partición de la unidad, cuya existencia está garantizada por el colector de ser Hausdorff y paracompact. A mí me parece que la no unicidad de la métrica de Riemann surge como consecuencia de la no-unicidad de POU.

Sí, coordinar las asignaciones son diferenciables por definición. Sin embargo, la diffeomorphism no es, obviamente, global, de lo contrario, usted tiene todo el $n$-dimensión múltiple es homeomórficos (topológicamente equivalente) a $\mathbb R^n$ (topologists va a morir de hambre).

Answer 4

Sí, en general, no es "dado por Dios" (canónico, natural,...) Riemannian métrico en un múltiple liso. Sin embargo, a veces, hay uno! Muchas de las investigaciones en la geometría diferencial moderna trata de encontrar tal métrica canónica. Por ejemplo, esto es cómo se resolvió la conjetura de Poincaré en dimensión 3 por Perelman. Ver mi respuesta aquí para detalles y referencias.