¿Cuál es la motivación de los modelos saturados?

Question

En Teoría de los modelos por Chang & Keisler, modelos saturados se presentan en la página 100.

Un modelo $\mathfrak U$ se dice que $\omega$ -saturado si para todo conjunto finito $Y \subset A$ cada conjunto de fórmulas $\Gamma(x)$ de $\mathfrak L_Y$ en consonancia con $\operatorname{Th}(\mathfrak U_Y)$ se realiza en $\mathfrak U_Y$ .

Para contextualizar, así es como el libro denota las cosas:

• $\mathfrak U$ es un modelo con universo $A$
• $\mathfrak L$ es un lenguaje de primer orden (de $\mathfrak U$ ).
• $\operatorname{Th}(\mathfrak U)$ denota el teoría de la $\ \mathfrak U$ el conjunto de todas las fórmulas de $\mathfrak L$ que $\mathfrak U$ puede satisfacer. (¿Verdad? No creo que el libro haya explicado esto, pero este parece ser el significado).
• $\mathfrak L_Y$ es la expansión de $\mathfrak L$ hecho añadiendo un nuevo símbolo constante $\bar y$ a $\mathfrak L$ para cada $y \in Y$ .
• Si $Y \subset A$ , $\mathfrak U_Y$ denota la expansión de $\mathfrak U$ a la lengua $\mathfrak L_Y$ construido interpretando cada símbolo constante $\bar y$ por el elemento correspondiente de $Y$ .

Ahora, entiendo esta definición. Puedo memorizarla y utilizarla en los ejercicios. Lo que no entiendo es por qué alguien haría esta definición en primer lugar.

Qué es un $\omega$ -¿Modelo saturado? ¿Por qué es útil? ¿Qué nos aporta esta definición?

Puede ayudar a dar una respuesta en contraste con los "modelos atómicos", introducidos justo antes de los modelos saturados en el libro:

Una fórmula $\phi(x_1\ldots x_n)$ se dice que completa (en $T$ ) si para cada fórmula $\psi(x_1 \ldots x_n)$ exactamente uno de $T \models \phi \rightarrow \psi$ , $T \models \phi \rightarrow \lnot \psi$ se mantiene.

Un modelo $\mathfrak U$ se dice que es un modelo atómico si cada $n$ -tupla $a_1, \ldots, a_n \in A$ satisface una fórmula completa en $\operatorname{Th}(\mathfrak U)$ .

Según tengo entendido, una "fórmula completa" (libre como máximo en $n$ variables) es una que clava la interpretación de cada una de las otras fórmulas (libre como máximo en $n$ variables). Un modelo es "atómico" si cualquier tupla extraída del universo satisface una fórmula completa.

En otras palabras, " $\mathfrak U$ es atómico" significa que cualquier conjunto de elementos extraídos del universo de $\mathfrak U$ corresponden a alguna fórmula que se clava por completo el resto de las fórmulas (de similar libertad) del lenguaje.

Esto nos da una "representación interna" de la integridad. Si se selecciona $\emptyset$ como tu tupla de elementos, obtienes una frase completa $\phi$ tal que para cada $\psi$ o bien $\mathfrak U \models \phi \rightarrow \psi$ o $\mathfrak U \models \phi \rightarrow \lnot \psi$ .

Esto parece algo importante, aunque todavía no tengo un conocimiento sólido de las implicaciones. (¿Estoy en el camino correcto?) Entiendo estas definiciones y puedo resolver algunos problemas sencillos, pero no entiendo su propósito.

¿Cuál es la motivación de los modelos saturados, especialmente en comparación con los modelos atómicos? ¿Por qué debería importarme la distinción?

Answer 1

Si $M$ es un modelo saturado (en su propia cardinalidad) de una teoría $T$ Pero tiene otras propiedades interesantes que se derivan de la saturación:

1. $M$ es universal: para cada $N\models T$ de cardinalidad como máximo igual a la cardinalidad de $M$ existe una incrustación elemental de $N$ en $M$ .
2. $M$ es fuertemente homogénea: toda función elemental parcial definida en $M$ cuyo dominio tiene una cardinalidad menor que la de $M$ se extiende a un automorfismo.

Esto tiene algunas consecuencias útiles: si suponemos que tenemos algún modelo saturado $\mathfrak C\models T$ de cardinalidad muy grande (donde muy grande significa mucho más grande que cualquier objeto que nos preocupe realmente), podemos asumir sin pérdida de generalidad que todo modelos de $T$ son en realidad subestructuras elementales de $\mathfrak C$ . Tratamos $\mathfrak C$ como una especie de dominio universal (de hecho, he oído que hay una noción de dominio universal que coincide con esto en el álgebra universal).

Además, para dos elementos cualesquiera $a,b$ en algún modelo (o tuplas, incluso infinito) y cualquier conjunto (pequeño) $A$ bajo la suposición anterior, los dos tienen el mismo tipo sobre $A$ si y sólo si existe un automorfismo de $\mathfrak C$ que lleva $a$ a $b$ y arreglos $A$ en el sentido de la palabra. Esto, además del hecho de que cada tipo sobre $A$ se realiza en $\mathfrak C$ significa que los tipos sobre $A$ corresponden exactamente a las órbitas de $\mathrm{Aut}(\mathfrak C/A)$ que a menudo hace que sea más sencillo imaginar algunas cosas y probarlas.

Hay una pequeña queja con lo anterior: ZFC no demuestra la existencia de grandes modelos saturados para teorías arbitrarias (aunque es fácil ver que hay un modelo saturado en cualquier cardinalidad fuertemente inaccesible). Sin embargo, sí demuestra que para cualquier cardinalidad $\kappa$ hay un modelo $\mathfrak C$ que es $\kappa$ -saturado (lo que implica $\kappa$ -universalidad, pero no fuerte $\kappa$ -homogeneidad si $\kappa<\lvert \mathfrak C\rvert$ ) y $\kappa$ -homogéneo, lo cual es suficiente para tener las cosas que mencioné anteriormente (donde pequeño significa más pequeño que $\kappa$ ).

Dicho esto, muchos trabajos de teoría de modelos asumen en realidad que existe un gran modelo saturado para ser breves, aunque se entiende que su existencia no es realmente necesaria, y para la mayoría (si no todos) de los propósitos puede ser sustituido por un modelo suficientemente saturado y homogéneo, por muy grande que sea su cardinalidad.

Este es probablemente el "uso" más obvio de los modelos saturados, pero hay otros. Por ejemplo, es cierto que dos modelos saturados cualesquiera de una teoría dada son isomorfos si y sólo si tienen la misma cardinalidad (más generalmente, dos modelos homogéneos de la misma cardinalidad son isomorfos si y sólo si realizan la misma $n$ -tipos para cada $n$ ).

Los modelos saturados también surgen en el contexto del análisis no estándar. Aunque por lo general sólo se utilizan los ultraproductos, el único objetivo de éstos es obtener $\aleph_1$ -de objetos analíticos, lo que permite expresiones ingenuas como " $f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ para el infinitesimal $h$ " o " $\int_0^1 f(x) dx=\sum_{k=0}^{n-1} f(k/n)/n$ para un número natural infinitamente grande $n$ " para que tenga sentido después de pequeñas modificaciones.