Incrustación, inmersión

Question

¿Alguien podria por favor explicarme qué significa "inclusión"? (Quizás una definición más intuitiva) He leído que la botella de Klein y plano proyectivo real no puede ser embebido en ${\mathbb R}^3$ pero está incrustado en ${\mathbb R}^4$. ¿No son esas 2 cosas objetos 3D? Si es así ¿por qué no incrustado en ${\mathbb R}^3$? Además, tengo algunos a través de la palabra "inmersión". ¿Cuál es la diferencia entre "inclusión" e "inmersión"?

Gracias.

Answer 1

Comprensiblemente, hay un montón de respuestas, pero si usted todavía tiene más preguntas tal vez esto ayude.

Una incrustación de un espacio topológico $X$ a de un espacio topológico $Y$ es un mapa continuo $e \colon X \to Y$ tal que $e|_X$ es un homeomorphism en su imagen.

Tanto la botella de Klein ($f \colon I^2 / \sim \to \mathbb{R}^3$) no está incluido en $\mathbb{R}^3$, debido a que se ha auto-intersecciones; esto significa que la inmersión de la botella de Klein no es un bijection, por lo tanto no es un homeomorphism, así que no es una incrustación.

Como yo lo entiendo, una inmersión simplemente significa que la recta tangente espacios se asignan injectively; es decir, que el mapa de $D_p f \colon T_pI^2 \to T_{f(p)}\mathbb{R}^3$ es inyectiva. En la botella de Klein ejemplo, en la auto-intersección, cualquier punto de intersección tiene dos distintos planos tangentes, por lo tanto, este mapa es inyectiva.

Espero que esto tiene sentido!

Answer 2

Básicamente, un resumen de la superficie tiene, en cada punto en dos direcciones a lo largo de la superficie. O aún mejor, hay todo un círculo de rayos que salen de cada punto.

Una inmersión es, aproximadamente, un mapa de la superficie en un mayor colector (como$\mathbb R^n$), donde todavía hay dos dimensiones de la pena de rayos que emanan de cada punto. Así que para los habituales de la incrustación de una botella Klein en $\mathbb R^3$, en el círculo de auto-intersección, cada hoja que todavía conserva sus dos dimensiones carácter. Por lo que es una inmersión. Si usted se para en su lugar, el mapa de la botella de Klein en $\mathbb R^3$ mediante la asignación de todo a un punto, que no sería una inmersión.

Answer 3

a través de la Wikipedia en Inmersiones

Una inmersión es precisamente un local de incrustación – es decir, para cualquier punto x ∈ M existe un barrio [sic], U ⊂ M, x, tal que f : U → N es una incrustación, y a la inversa, un local de incrustación es una inmersión.

Así, una inmersión es una incrustación, es decir, un isomorfo (homeomórficos) copia, en cada punto, y viceversa, a pesar de toda la imagen no puede ser una homeomórficos copia.

Pero, más adelante, el mismo artículo dice:

Si M es compacta, un inyectiva inmersión es una incrustación de objetos, pero si M no es compacto entonces inyectiva inmersiones no necesita ser incrustaciones; comparar continua bijections frente a homeomorphisms.

Me gustaría que me podría dar un ejemplo de un no-compace involucración/incrustación o continua bijections frente a homeomorphisms, pero aunque entiendo las dos ideas, más o menos, no estoy seguro de qué condiciones hacen de conflictos...