Mostrar $\sum \frac{1}{p}(-1)^{(p-1)/2}$ converge

Question

Mostrar que la suma $$\sum \frac{(-1)^{\frac{p-1}{2}}}{p}$ $ converge, donde la suma se toma sobre todos los primos impares.

Este problema fue en un viejo examen de clasificación de Harvard. ¿Hay una manera bastante elemental para solucionarlo?

Answer 1

Tenemos que $\left(p-1\right)/2$ % impar iff $p\equiv3\textrm{ mod }4$y iff incluso $p\equiv1\textrm{ mod }4$. Dejar %#% $ de #% por la suma parcial $$A\left(N\right)=\sum_{p\leq N}\left(-1\right)^{\left(p-1\right)/2}=\left|\left\{ p\leq N:\, p\equiv1\textrm{ mod }4\right\} \right|-\left|\left\{ p\leq N:\, p\equiv3\textrm{ mod }4\right\} \right|=\pi\left(N;4,1\right)-\pi\left(N;4,3\right).$ $ y luego observar que, por el teorema del número primo en progresión aritmética (usando el hecho de que $$\sum_{p\leq N}\frac{\left(-1\right)^{\left(p-1\right)/2}}{p}=\frac{A\left(N\right)}{N}+\int_{3}^{N}\frac{A\left(t\right)}{t^{2}}dt$ algunos $4<\left(\log\left(N\right)\right)^{C}$) $C>0$$$\pi\left(N;4,1\right)-\pi\left(N;4,3\right)=O\left(\frac{N}{\phi(4)\log\left(N\right)^{2}}\right)$\phi(.) $ where $$ is the Euler totient function, so $ $ Ahora tomar $\sum_{p\leq N}\frac{\left(-1\right)^{\left(p-1\right)/2}}{p}=O\left(\frac{1}{\log\left(N\right)^{2}}+\int_{3}^{N}\frac{1}{t\log\left(t\right)^{2}}dt\right)=O\left(\frac{1}{\log\left(N\right)^{2}}+\frac{1}{\log\left(N\right)}+ \frac{1}{\log(3)}\right)=O\left(1\right).$