Son Mersenne prime exponentes siempre impar?

Question

He estado investigando primos Mersenne para que yo pueda escribir un programa que encuentre. Una de Mersenne prime se parece a $2^n-1$. Cuando el cálculo de ellos, me he dado cuenta de que el $n$ valor siempre parece ser impar. Hay confirmación o prueba de que esto sea cierto?

Answer 1

Teorema. Si $2^n-1$ es primo entonces $n$ es primo.

Prueba. Suponga que $2^n-1$ es primo, y escribir $n=st$ donde $s,t$ son números enteros positivos. Desde $$x^s-1=(x-1)(x^{m-1}+x^{s-2}+\cdots+1)\ ,$$ podemos sustituir el valor de $x=2^t$ a ver que $2^t-1$ es un factor de $2^n-1$. Desde $2^n-1$ es primo sólo hay dos posibilidades, $$2^t-1=1\quad\hbox{o}\quad 2^t-1=2^n-1\ .$$ Por lo tanto $t=1$ o $t=$ n. Hemos demostrado que la única posible factorisations de $n$ se $n\times1$ y $1\times n$. Por lo tanto, $n$ es primo.

Comentario. Si $n$ es el primer no siempre es cierto que $2^n-1$ es primo. Por ejemplo, $2^{11}-1=23\times89$.

Answer 2

Tenga en cuenta que para $m\ge 2$ $$2^{2m}-1=(2^m)^2-1=(2^m-1)(2^m+1)$$ no es un número primo.

Answer 3

Sí, la fórmula de $2^n-1$ sólo se puede apreciar en un primer si $n$ es un número primo, por lo tanto el solo valor de $n$ lo que produce un prime es de $2 dólares, que los rendimientos de Mersenne prime$2^2-1=3$. Sin embargo, para algunos de los mejores valores de$n$el resultado no es primo, por ejemplo$2^{11}-1=23\cdot 89$.

En general $a^x-1$ es compuesto si $x$ es compuesto. Esto se puede ver muy fácilmente por medio de la escritura de los números en la base de $a$. El número tendrá $x$ dígitos, y donde $x$ es compuesto, es posible factorisations que involucra $a^y-1$ (donde $y$ es un factor de $x$) a ser obvia.

$2^4-1$ en binario es de $1111$ que puede ser factorizado como $101\cdot 11$

$2^{15}-1$ en binario es de $111 111 111 111 111$ que puede ser factorizado como $1001001001001 \cdot 111$ o $10000100001 \cdot 11111$

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$10^8-1$ es $99999999$ en decimal que puede ser factorizado como $1010101 \cdot 99$ o $10001 \cdot 9999$. Por $un$ mayor que $2$ también podemos separar el factor $-1$ (en este caso, $9$): $9 \cdot 1010101 \cdot 11$ o $9 \cdot 10001 \cdot 1111$

Por otro lado, la presencia de $a-1$ como un factor significa que la totalidad de los $a^x-1$ con $a>2$ y $x>1$ son compuestos.

Answer 4

Lo siento a todos, pero la pregunta dice claramente si Mersenne prime poderes son siempre impar.

2² − 1 es un Mersennse el primer de los cuales el poder es 2 , que es un número par.

Por lo tanto, la única respuesta posible es no.

Lo único que podemos estar seguros es que si 2ⁿ − 1 es primo, entonces n es primo, como se ha demostrado en otras respuestas.

Lo que ocurre es que el 2 es el único primo par número.

Answer 5

Sí, si $n$ es positivo e incluso, entonces uno puede factor en números enteros:

$$2^n - 1 = (2^{n / 2} + 1)(2 ^ {n / 2} - 1).$$

Así pues, en este caso $2^n - 1$ es compuesto si $2^{n / 2} - 1 > 1$, es decir, si $n > 2$.