Loading [MathJax]/extensions/TeX/AMScd.js

12 votos

Limpio hasta encontrar el núcleo del homomorfismo del anillo

Estoy tratando de resolver un ejercicio de álgebra conmutativa en la cual necesito el núcleo del homomorfismo h siguiente:

Considerar el % de homomorfismo ϕ:k[[x,y,z]]k[[t]]que envía xt3,yt4,zt5. Encontrar ker(ϕ).

Está claro que (x3yz,y2xz,z2x2y)ker(ϕ). ¿Sugerencias/ideas para demostrar lo contrario?

2voto

Ho1 Puntos 368

\require{AMScd}

Con A=k[[x,y,z]], B=k[[t]] y I = (x^3-yz, y^2-xz, z^2 -x^2 y) \bar{A} = A/I considera el diagrama

\begin{CD} \bar{A}_y @>{f}>> B_{t^4}\\ @AAiA @AAA \\ \bar{A} @>{}>> B \end{CD}

El mapa de f ha dejado inverso gg(t) = z/y. Uno puede calcular

x \to t^3 \to z^3/y^3 = x porque z^3 - x y^3 \in I

y \to t^4 \to z^4/y^4 = y porque z^4 - y^5 \in I

z \to t^5 \to z^5/y^5 = z porque z^5 - y^5 z \in I

(He comprobado el \in I con el ideal de J \subseteq R tener el mismo generadores I, pero en R=k[x,y,z])

Ahora queda por demostrar que i es inyectiva que sigue de (I:y^s) = I. Tan sólo necesitamos demostrar (I:y) = I. Ahora dará x,y,z pesos 3,4,5, lo I es homogéneo. A continuación, y h \in I implica y h_d \in I para todos los ponderado homogéneo de piezas de h_dh. Pero esto, creo, es equivalente a y h_d \in J con el ideal de J presentaron anteriormente. Como J es el primer en R,h_d \in J, por lo h_d \in I. Va desde la h_d con menor d hacia arriba, demuestra h \in I.

2voto

TheBlueSky Puntos 654

Esta pregunta es más o menos un duplicado de Mostrar el conjunto de puntos de (t^3, t^4, t^5) es cerrado en \mathbb A^{3}.

Si tenemos un surjective anillo homomorphism A\stackrel{f}\to B donde A,B son noetherian anillos, y I\subset A un ideal, entonces esto da lugar a una secuencia exacta de A-módulos 0\to\ker f\to A\to B\to0 and by tensorizing with \sombrero de Un (the completion of in the $I$-adic topology) we get 0\to\ker f\otimes_A\hat A\to A\otimes_A\hat A\to B\otimes_A\hat A\to0. This leads to the exact sequence 0\to (\ker f)\hat A\to\hat A\stackrel{\hat f}\to\hat B\to0,$$ so \ker\hat f=(\ker f)\hat. (The completion of B is taken in the f(I)-ádico de topología.)

Ahora utilice el resultado para el polinomio de anillos que he mencionado anteriormente y extenderla a la potencia correspondiente de la serie de los anillos (que son las terminaciones de los anillos de polinomios involucrados en nuestra pregunta).

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X