Limpio hasta encontrar el núcleo del homomorfismo del anillo

Question

Estoy tratando de resolver un ejercicio de álgebra conmutativa en la cual necesito el núcleo del homomorfismo h siguiente:

Considerar el % de homomorfismo $ \phi :k[[x,y,z]] \to k[[t]]$que envía $x \to t^3,y \to t^4, z \to t^5$. Encontrar $\ker(\phi)$.

Está claro que $ (x^3-yz,y^2-xz,z^2-x^2y) \subset \ker(\phi)$. ¿Sugerencias/ideas para demostrar lo contrario?

Answer 1

$\require{AMScd}$

Con $A=k[[x,y,z]]$, $B=k[[t]]$ y $I = (x^3-yz, y^2-xz, z^2 -x^2 y)$ $\bar{A} = A/I$ considera el diagrama

$$ \begin{CD} \bar{A}_y @>{f}>> B_{t^4}\\ @AAiA @AAA \\ \bar{A} @>{}>> B \end{CD} $$

El mapa de $f$ ha dejado inverso $g$$g(t) = z/y$. Uno puede calcular

$x \to t^3 \to z^3/y^3 = x$ porque $z^3 - x y^3 \in I$

$y \to t^4 \to z^4/y^4 = y$ porque $z^4 - y^5 \in I$

$z \to t^5 \to z^5/y^5 = z$ porque $z^5 - y^5 z \in I$

(He comprobado el $\in I$ con el ideal de $J \subseteq R$ tener el mismo generadores $I$, pero en $R=k[x,y,z]$)

Ahora queda por demostrar que $i$ es inyectiva que sigue de $(I:y^s) = I$. Tan sólo necesitamos demostrar $(I:y) = I$. Ahora dará $x,y,z$ pesos $3,4,5$, lo $I$ es homogéneo. A continuación, $y h \in I$ implica $y h_d \in I$ para todos los ponderado homogéneo de piezas de $h_d$$h$. Pero esto, creo, es equivalente a $y h_d \in J$ con el ideal de $J$ presentaron anteriormente. Como $J$ es el primer en $R$,$h_d \in J$, por lo $h_d \in I$. Va desde la $h_d$ con menor $d$ hacia arriba, demuestra $h \in I$.

Answer 2

Esta pregunta es más o menos un duplicado de Mostrar el conjunto de puntos de $(t^3, t^4, t^5)$ es cerrado en $\mathbb A^{3}$.

Si tenemos un surjective anillo homomorphism $A\stackrel{f}\to B$ donde $A,B$ son noetherian anillos, y $I\subset A$ un ideal, entonces esto da lugar a una secuencia exacta de $A$-módulos $$0\to\ker f\to A\to B\to0$$ and by tensorizing with $\sombrero de Un$ (the completion of $$ in the $I$-adic topology) we get $$0\to\ker f\otimes_A\hat A\to A\otimes_A\hat A\to B\otimes_A\hat A\to0.$$ This leads to the exact sequence $$0\to (\ker f)\hat A\to\hat A\stackrel{\hat f}\to\hat B\to0,$$ so $\ker\hat f=(\ker f)\hat$. (The completion of $B$ is taken in the $f(I)$-ádico de topología.)

Ahora utilice el resultado para el polinomio de anillos que he mencionado anteriormente y extenderla a la potencia correspondiente de la serie de los anillos (que son las terminaciones de los anillos de polinomios involucrados en nuestra pregunta).