¿Por qué los espejismos sólo aparecen en los días de calor?

Question

Una pregunta anterior preguntó por qué la carretera aparece a veces mojada en los días de calor.

La razón es que cuando hay un gradiente de temperatura en el aire, se produce un gradiente en el índice de refracción, lo que hace que la luz se doble. Este diagrama (de la respuesta de Lagerbaer a la pregunta anterior) es

Tengo dos preguntas al respecto.

En primer lugar, la Wikipedia dice que para que aparezca el efecto debe haber un gradiente de temperatura del orden de unos pocos grados por cada cien metros sobre el asfalto.

Para investigar esta afirmación, supuse que el aire cerca de la superficie del asfalto está a presión constante, por lo que la densidad es inversamente proporcional a la temperatura (es decir, supuse que la variación de densidad debida al peso del aire es pequeña en comparación con la variación de densidad inducida por el gradiente de temperatura. De lo contrario, veríamos espejismos todo el tiempo).

Entonces asumí que la diferencia del índice de refracción del aire de uno es proporcional a la densidad, es decir $n = 1 + a\frac{\rho}{\rho_0}$ avec $n$ el índice de refracción del aire, $a$ alguna constante adimensional, y $\rho_0$ alguna densidad de referencia. Buscando el índice de refracción del aire en Internet, adiviné $a = 0.0003$ .

Entonces asumí que la temperatura sobre la Tierra está modelada por $T = T_0 + gy$ avec $y$ la altura y $g$ un gradiente de temperatura en ${}^\circ\mathrm C/\mathrm m$ .

Esto completa el modelo. El principio de Fermat da un problema variacional para resolver la trayectoria de la luz. Sin embargo, la ecuación diferencial resultante era difícil de trabajar, así que, en primer orden, aproximé que la luz comienza a una distancia horizontal $x = -L$ en la altura $y =h$ , desciende hacia el suelo con cierta inclinación $m$ hasta llegar a $x=0$ , luego vuelve a subir con la misma pendiente $m$ hasta llegar a $x = L$ y $y = h$ de nuevo. Entonces elegí $m$ para minimizar el tiempo de viaje de esta ruta.

A primera orden para los pequeños $h$ Encontré

$$m = \frac{agL}{2T_0}$$

El problema es que cuando conecto $g = 5\ \mathrm{^\circ C}/100\ \mathrm m$ , $a = 0.0003$ , $T_0 = 300\ \mathrm K$ y $L = 100\ \mathrm m$ Me sale $m = 2.5\times10^{-6}$ que es demasiado pequeño para explicar el espejismo. Sólo permitiría que la luz se sumerja un cuarto de milímetro en el camino desde un coche $200\ \mathrm m$ a mí. En la imagen de Wikipedia de un espejismo, la luz desciende claramente al menos 1000 veces más (fíjate en el coche azul).

Así que mi primera pregunta es: ¿qué es lo que falla? ¿Por qué hay espejismos cuando este modelo predice que no los hay?

La segunda es: ¿por qué las vemos sólo cuando hace calor? Este modelo sólo depende débilmente de la temperatura absoluta, y las temperaturas absolutas cálidas en realidad disminuyen el efecto. Evidentemente, sólo hay gradientes de temperatura elevados en los días calurosos, pero ¿por qué? Un gradiente de temperatura sobre el asfalto proviene de que el sol calienta directamente el asfalto más de lo que calienta el aire. ¿No debería ocurrir eso tanto en días fríos como en días calurosos?

Answer 1

No he hecho los cálculos pero esperaría que la radiación del asfalto como $T^4$ favorecerá los gradientes más grandes para las temperaturas más altas. Tengo la impresión de que el aire va algo así como $T^6$ , por lo que incluso la energía transferida por conducción tendrá mayores gradientes cuanto más caliente esté. Su g depende de la temperatura, supongo.

Editar en respuesta a la edición de la pregunta.

¿No debería ocurrir lo mismo en los días fríos que en los calurosos?

Copio de los comentarios de abajo:

si se hace el cálculo del cuerpo negro, el asfalto en $40^\circ \mathrm{C}$ irradia $547\mathrm{watts}/\mathrm{m}^2$ . En $41^\circ\mathrm{C}$ 551, es decir, la diferencia $4\mathrm{watts}/\mathrm{m}^2$ mientras que en $50^\circ\mathrm{C}$ 617 y en $51^\circ\mathrm{C}$ 628, es decir $11\mathrm{Watts}/\mathrm{m}^2 \Delta T$ . eso es lo que quiero decir con que g depende de la temperatura. Si hay convección el asfalto se mantiene más frío y el equilibrio entre el calentamiento por radiación entrante y el enfriamiento por cuerpo negro es menor.

En un día frío, aunque no haya viento y no haya convección, la temperatura de equilibrio será mucho más baja, ya que se empieza a calentar desde una temperatura del suelo mucho más baja. En Grecia se pueden freír huevos en verano sobre el asfalto, pero no en invierno.

Además $5^\circ\mathrm{C}$ por metro es una cifra baja. El asfalto puede estar en $50^\circ\mathrm{C}$ o $60^\circ \mathrm{C}$ pero a 1 metro no será más de 35, en Grecia, en verano. En las latitudes del norte tal vez $25^\circ\mathrm{C}$ ?

Answer 2

La ilusión la genera tu cerebro. La luz está sólo un cuarto de milímetro más abajo, en tu ojo. Por lo tanto, la detectas como si estuviera un metro más abajo a una distancia de 200M. Tu cerebro interpreta la luz como si tomara un camino recto hacia tu ojo, por lo que sólo se requiere una pequeña desviación en el ángulo para hacer posible el espejismo.

Si el objeto es lo suficientemente pequeño (o el gradiente de calor es lo suficientemente grande) puede quedar completamente oculto por el espejismo.