¿es el pushforward de una gavilla plana?

Question

Dejemos que $f:X \to Y$ sea un morfismo de esquemas y que $F$ ser un $\mathcal{O}_X$ -módulo plano sobre $Y$ . Es $f_*F$ plano sobre $Y$ ?

¿Qué hay de malo en este argumento? [EDIT: como señala Parsa, la fórmula de proyección (infravalorada) no es válida para módulos arbitrarios sobre Y]

Dejemos que $N' \to N$ sea una inyección de módulos sobre $Y$ tenemos que demostrar que $f_*F \otimes N' \to f_*F \otimes N$ es una inyección. Por la fórmula de proyección $f_* F \otimes M = f_*(F \otimes f^*M)$ . Usando esto vemos $f_* F \otimes N' \to f_*F \otimes N = f_*(F \otimes f^*N' \to F \otimes f^*N)$ (el pushforward del morfismo, ¿no?). La planitud de $F$ implica (¿verdad?) $F \otimes f^*N' \to F \otimes f^*N$ es inyectiva. Por la exactitud de la izquierda de $f_*$ hemos terminado.

[EDIT: ¿qué es entonces un contraejemplo?]

[EDITT: esto es claramente falso, si no los teoremas sobre la semicontinuidad de la cohomología de las fibras no tendrían sentido. Sin embargo, estaría bien tener un contraejemplo sencillo, ¿alguien lo sabe?].

Answer 1

Consideremos una superficie integral $Y=\mathrm{Spec} A$ con un único punto no normal $y_0$ . Sea $\pi : Y'=\mathrm{Spec} B\to Y$ sea el mapa de normalización y que $X=Y'\setminus \pi^{-1}(y_0)$ . Entonces $f: X\to Y$ es una inmersión abierta, por lo que $O_X$ es plana sobre $Y$ . Pero $f_*O_X=O_X(X)=B$ porque $B$ es normal y $Y'\setminus X$ tiene codimensión $2$ en $Y'$ . Como $A\to B$ es birracional (e incluso finito), si fuera plano sería un isomorfismo. Por lo tanto, $f_*O_X$ no es plana sobre $Y$ .

A continuación, un ejemplo concreto. Sea $B=\mathbb C[x,y]$ y que $A=\mathbb C+ (x,y)^2\mathbb C[x,y]$ . Entonces $\mathrm{Spec}(B)\to \mathrm{Spec}(A)$ es biracional finito, y $(0,0)$ es el único punto donde el morfismo no es un isomorfismo. En este ejemplo, un cálculo directo ya muestra que $B=O_X(X)$ .