Ejemplo para mostrar la distancia entre dos conjuntos cerrados puede ser 0, aunque los dos conjuntos son disjuntos

Question

Que $A$ $B$ ser dos conjuntos de números reales. Definir la distancia de $A$ $B$ por el $$\rho (A,B) = \inf \{ |a-b| : a \in A, b \in B\} \;.$$ Give an example to show that the distance between two closed sets can be $$ %0 aunque los dos conjuntos son disjuntos.

Answer 1

Que $A = \mathbb N$ y que $B = \left\{n+\frac{1}{2n} :n\in \mathbb N\right\}$. Entonces A y B están cerradas y disjuntos, pero %#% $ #%

Answer 2

Considerar el % de sistemas $\mathbb N$y $\mathbb N\pi = \{n\pi : n\in\mathbb N\}$. $\mathbb N\cap \mathbb N\pi=\emptyset$ $\pi$ Es irracional, pero tenemos puntos en $\mathbb N\pi$ que arbitrariamente se encuentran cerca de los enteros.

Answer 3

Que $A$ ser el conjunto de enteros positivos y que $B$ el conjunto de todos los números de la forma $n+1/n$, donde $n$ alcances sobre el % de enteros $\gt 1$.