¿Cuál es la relación entre la geometría algebraica y la mecánica cuántica?

Question

La relación básica en la geometría algebraica es entre una variedad y su anillo de funciones. Podría decirse que la misma relación básica de la mecánica cuántica es entre un estado del espacio y su álgebra de las características observables. ¿En qué sentido es la geometría algebraica de una "clásica" (es decir, conmutativa) fenómeno? ¿Cómo funciona la intuición de la mecánica cuántica influir en cómo uno debe pensar de la geometría algebraica y viceversa? Lo moderno áreas de investigación el estudio de su interacción?

(Esta pregunta está vagamente inspirada en una pregunta similar sobre la teoría de la representación.)

Answer 1

También diría es la geometría no conmutativa y en particular la noción de espectral es triple el formalismo geométrico saliendo directamente de la mecánica cuántica.

Es una descripción incompleta desde este punto de vista nLab: triple espectral.

Answer 2

Hay un libro muy bonito por Martin Schlichenmaier disponible en arXiv math/000528, donde el autor discute la relación entre cuantificación sobre colectores de Kaehler y geometría proyectiva. Básicamente, un colector de Kaehler (quantizable) M puede ser embebido en un espacio proyectivo complejo por Kodaira incrustar teorema. La cuántica, el espacio de Hilbert se convierte en el anillo de coordenadas proyectivo de M.

Answer 3

Mi entendimiento es que esto es más o menos el punto de partida de la geometría no conmutativa. También ha sido el trabajo reciente que es más algebraicas en el espíritu que el cuerpo principal de la geometría no conmutativa, que tiende a ser el análisis funcional. Para un punto de entrada, consulte el papel de Crawley-Boevey, Etingof y Ginzburg en "la geometría no conmutativa y la aljaba de álgebras."