Espacio de Lebesgue y el débil espacio de Lebesgue

Question

Deje $1\le p<\infty$. Definimos los débiles espacio de Lebesgue $wL^p(\mathbb{R}^d)$ como el conjunto de todas las funciones medibles $f$ $\mathbb{R}^d$ tal que \begin{equation} \|f\|_{wL^p}=\sup_{\gamma>0} \gamma (\{x\in \mathbb{R}^d : |f(x)|>\gamma \})^{1/p}<\infty. \end{equation} Por la desigualdad de Chebyshev, tenemos $\|f\|_{wL^p}\le \|f\|_{L^p}$ por cada $f\in L^p$.

Mi pregunta es la siguiente: Deje $1\le p, q <\infty$. Podemos obtener algunas condiciones para $p$ $q$ tal que \begin{equation} \|f\|_{L^p} \le C_1\|f\|_{wL^q} \end{equation} para cada $f \in wL^q$ o \begin{equation} \|f\|_{wL^p} \le C_2\|f\|_{L^q} \end{equation} para cada $f \in L^q$. Aquí, denotamos por a $C_1,C_2$ los constantes positivas que independiente a $f$.

Edit: tal vez podemos restringir la pregunta para delimitada subconjunto $K$$\mathbb{R}^n$, es decir, \begin{equation} \|f\|_{L^p(K)} \le C_1\|f\|_{wL^q(K)} \end{equation} para cada $f \in wL^q$ o \begin{equation} \|f\|_{wL^p(K)} \le C_2\|f\|_{L^q(K)} \end{equation} para cada $f \in L^q$.

Answer 1

En $\mathbb R^n$, la respuesta es negativa: si $p\ne q$, hay una función en $L^q$ que no está en $wL^p$, por ejemplo,
$$f(x)=\frac{|x|^{-n/q}}{1+\log^2|x|}\tag{*}$$

En un subconjunto finito de medida, los espacios de Lebesgue están anidados: $L^p\subset L^q$ si $p\ge q$. Por lo tanto, tenemos las desigualdades $$\|f\|_{L^p(K)} \le C_1\|f\|_{wL^q(K)},\quad p< q\tag1$$ y (como consecuencia de (1)), $$\|f\|_{wL^p(K)} \le C_2\|f\|_{L^q(K)},\quad p\le q\tag2$$ Para demostrar (1): el uso de la desigualdad de Jensen, seguido por Chebyshev: $$\|f\|_{L^p(K)}\le |K|^{1/p-1/q}\|f\|_{L^q(K)}\le |K|^{1/p-1/q}\|f\|_{wL^q(K)}$$

Para $p>q$ la inclusión sigue sin funcionar. Consideremos el mismo ejemplo (*), que es en $L^q$ en la unidad de la bola de $B$, pero no en $L^p(B)$$p>q$.