Encontrar el cero no último dígitos de 28!.

Question

Encontrar el cero no último dígitos de 28!.

Es muy difícil multiplicar y encontrar el último dígito distinto de cero. Sólo quiero saber lo siguiente, ¿hay alguna técnica fácil para resolver este tipo de problema?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$5\times 10\times 15\times 20\times 25=5\times(2\cdot 5)\times (3\cdot 5)\times (2^2\cdot 5)\times 5^2=2^3\cdot 3\cdot 5^6$ $ y $ de $$10^6=2^6\cdot 5^6=\frac{8\cdot 5\cdot 10\cdot 15\cdot 20\cdot 25}{3}=8\cdot 5\cdot 10\cdot 5\cdot 20\cdot 25.$

Así, en el mod $10$, tenemos %#% $ #%

Answer 2

Aquí es una técnica:

1. Factor de todos los números de $1,\dots,28$ como un producto de dos en dos, de cinco en cinco y de otros números. (Otros números significado de los números no es divisible por 2 o 5.)
2. Calcular el número de cinco en cinco y de eliminarlos, y también quitar un número igual de dos en dos. (Cada uno a cero al final es debido a un factor de $10=5\times2$, y siempre hay más de dos años de edad de cinco en cinco.)
3. Para el resto de los factores (incluyendo el resto de los niños de dos años), calcular modulo 10 (simplemente eliminar decenas) y los multiplicamos. También puede realizar otros cambios modulo 10, como transformar a un $9$ a $-1$.
4. El último dígito de este producto será el último dígito distinto de cero de a $28!$

Ejemplo en el caso de $11!$:

1. $1=1$, $2=2$, $3=3$, $4=2^2$, $5=5$, $6=2\times3$, $7=7$, $8=2^3$, $9=9$, $10=2\times5$, $11=11$.
2. Hay dos cincos.
3. El resto de los factores son $1$, $2$ (6 veces), $3$ (dos veces), $7$, $9$ y $11$.
4. El producto es $1\times2^6\times3^2\times(-3)\times(-1)\times1=2^63^3=1728$. El último dígito distinto de cero de a $11!$ es así 8. (Marque: $11!=39916800$.)

Esta técnica no es óptimo pero funciona. Una vez que averiguar por qué y cómo funciona, usted probablemente puede encontrar una manera de hacer más eficiente si usted desea hacer los cálculos de nuevo. Tenga en cuenta que en el último paso, es suficiente para calcular el producto modulo 10, así que usted puede tirar innecesarios decenas y centenas.

Answer 3

Tal vez una pequeña reducción en los cálculos en otras respuestas. En primer lugar, utilizamos la técnica estándar para encontrar la potencia de un primo que divide a un factorial: $$\Bigl\lfloor\frac{28}{5}\Bigr\rfloor+\Bigl\lfloor\frac{28}{25}\Bigr\rfloor =5+1=6$$ por lo $5^6$ es un factor de $28!$ (e $5^7$ no lo está), y de la misma manera $$\Bigl\lfloor\frac{28}{2}\Bigr\rfloor+\Bigl\lfloor\frac{28}{4}\Bigr\rfloor +\Bigl\lfloor\frac{28}{8}\Bigr\rfloor +\Bigl\lfloor\frac{28}{16}\Bigr\rfloor=14+7+3+1=25\ ,$$ por lo $2^{25}$ es un fcator de $28!$. Por lo tanto, $28!$ termina con $6$ ceros y necesitamos que el último dígito de la $28!/10^6$. La simplificación de modulo $10$, tenemos $$2^\equiv2^5\equiv2^9\equiv2^{13}\equiv2^{17}\ ,\quad 3^4\equiv1\ ,\quad 7^4\equiv1\ ,\quad 9^2\equiv1\ ;$$ la cancelación de $2$s y $5$s y la reducción de la resuts modulo $10$ da $$\eqalign{28!/10^6 &\equiv2^{19}1.1.3.1.1.3.7.1.9.1.1.3.3.7.3.1.7.9.9.1.1.1.3.3.1.3.7.7\cr &\equiv2^3.3^8.7^5.9^3\cr &\equiv8.1.7.9\cr &\equiv4\ .\cr}$$

Answer 4

Aquí es una técnica general que calcula el dígito en cuestión en polylog tiempo. La técnica se aplica a $28!$ al final, ya que es la pregunta específica aquí. Me lo aplico a $1000!$ a destacar que se puede utilizar para mucho más grande de números.

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La idea es extraer todos los poderes de $5$$2$$n!$, y escribo como $10^A2^BC$ $C$ impar y no un múltiplo de $5$. A continuación, $A$ es el número de ceros a la derecha. Y lo $2^BC$ es módulo 10 es el dígito anterior. Para este fin, estos dos reducción de fórmulas son útiles. Ellos usan $$n\underset{2}{!}=1\cdot3\cdot5\cdots(\text{last odd number}\leq n)$$ and $$n\underset{5}{!}=1\cdot3\cdot7\cdot9\cdot11\cdot13\cdot17\cdots(\text{last such number}\leq n)$$ y la reducción de reglas (que son fáciles de comprobar) $$\begin{align} n! &= n\underset{2}{!} \times \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor! \times 2^{ \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}\\ n\underset{2}{!} &= n\underset{5}{!} \times \left(2\left\lfloor\frac{n+5}{10}\right\rfloor-1\right)\underset{2}{!} \times 5^{\left\lfloor\frac{n+5}{10}\right\rfloor}\hspace{2pc}n\geq5 \end{align}$$ El primero de estos es algo que usted pudo haber visto antes. El segundo es el resultado de tratar de encontrar una fórmula similar que excluye a los múltiplos de $5$. Un número de la forma $n\underset{5}{!}$ es sólo importante para nosotros mod $10$, e $n\underset{5}{!}\equiv (1\times3\times7\times9)^{\left\lfloor\frac{n}{10}\right\rfloor}\times\epsilon\equiv 9^{\left\lfloor\frac{n}{10}\right\rfloor}\times\epsilon$ donde $\epsilon$ es $1$, $3$ o $9$ dependiendo $n$ el último dígito de la $n$. Estas dos normas de reducción, junto con el sistema modular de reducción de $n\underset{5}{!}$ reducir el tamaño de $n$ en la mitad, y la aplicación repetida traerá el tamaño de $n$ abajo bastante rápido. Tenemos:

\begin{align} 1000!&\equiv1000\underset{2}{!}\times500!\times2^{500}\\ &\equiv1000\underset{5}{!}\times199\underset{2}{!}\times5^{100}\times500!\times2^{500}\\ &\equiv9^{100}\times500!\times199\underset{2}{!}\times2^{500}\times5^{100} \\ &\equiv500!\times199\underset{2}{!}\times2^{500}\times5^{100}\\ & \text{...note we've cut the largest number in play from 1000 to 500...}\\ & \text{...repeated factorial and modular reductions...}\\ &\equiv 2^{994}\times5^{249}\\ &\equiv10^{249}\times2^{741}\\ &\equiv10^{249}\times2^1 \end{align}

Así que hay $249$ ceros, y el dígito anterior es una $2$ ($1000!$).

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Aplicado a $28!$:

\begin{align} 28! &\equiv28\underset{2}{!}\times14!\times2^{14}\\ &\equiv\left(28\underset{5}{!}\times5\underset{2}{!}\times5^3\right)\times14!\times2^{14}\\ &\equiv9^2\times5\underset{2}{!}\times5^3\times14!\times2^{14}\\ &\equiv10^3\times2^{11}\times5\underset{2}{!}\times14!\\ &\equiv10^3\times2^{11}\times15\times14!\\ &\equiv10^4\times2^{10}\times3\times14!\\ &\equiv10^4\times2^{10}\times3\times\left(14\underset{2}{!}\times7!\times2^7\right)\\ &\equiv10^4\times2^{17}\times3\times14\underset{2}{!}\times7!\\ &\equiv10^4\times2^{17}\times3\times\left(14\underset{5}{!}\times1\underset{2}{!}\times5^1\right)\times7!\\ &\equiv10^5\times2^{16}\times3\times14\underset{5}{!}\times7!\\ &\equiv10^5\times2^{16}\times3\times\left(9\times3\right)\times7!\\ &\equiv10^5\times2^{16}\times7!\\ &\equiv10^5\times2^{16}\times5040\\ &\equiv10^6\times2^{16}\times504\\ &\equiv10^6\times2^{16}\times4\\ &\equiv10^6\times2^{18}&2^{a+4n}\equiv2^a\text{ for }a\geq1\\ &\equiv10^6\times2^{2}\\ &\equiv10^6\times4\\ \end{align}

Por lo $28!$ termina con seis $0$s y es el primer dígito distinto de cero (de la derecha) es una $4$.