Inspirado por Pascal, me puse unos grilletes y un espinoso de la correa. La inspiración vino a raudales, y pensé en el siguiente triángulo:
$$ \begin{array}{rcccccccccc} & & & & & 1\\\ & & & & 1 & & 1\\\ & & & 1 & & \frac{1}{2} & & 1\\\ & & 1 & & \frac{2}{3} & & \frac{2}{3} & & 1\\\ & 1 & & \frac{3}{5} & & \frac{3}{4} & & \frac{3}{5} & & 1\\\ 1 & & \frac{5}{8} & & \frac{20}{27} & & \frac{20}{27} & & \frac{5}{8} & & 1\\\ & ... & & & &... & & & & ... & \end{array} $$
Vamos a llamar a la correspondiente entrada ${n \elegir k}$, porque obviamente no hay ningún peligro de confusión. La construcción de la regla es muy simple. En lugar de tener $${n+1 \elegir k} = {n \elegir k-1} + {n \elegir k},$$ como de costumbre, tenemos $${n+1 \elegir k} = \frac{1}{{n \elegir k-1} + {n \elegir k}}.$$
Es fácil ver por inducción que todas las entradas del triángulo se encuentran entre $1/2$, y $1$. También, fijo de $k$, ${n \elegir k}$ converge a un límite de $C_k$. Por ejemplo, $C_1=1/\phi$, donde $\phi$ es el cociente de oro (esto debería ser obvio! creo que de los números de Fibonacci...). Podemos determinar fácilmente $C_{k+1}$ en $C_k$ tomando el límite en la construcción de la regla, que los rendimientos de $C_k=(C_{k-1}+C_k)^{-1}$. En particular, todos los de la $C_k$'s son números algebraicos.
Me gustaría saber si alguien de aquí puede resultar interesante las propiedades de este triángulo, o de los números $C_k$.
¡A disfrutar! Voy a quitarse los grilletes y el cinturón de ahora.
