¿Es la medida pushforward un pushout categórico-teórico?

Question

Dados dos espacios medibles $(X,\mathscr{F}),(Y,\mathscr{G}),$ $f:X \to Y$ medible y $\mu:\mathscr{F} \to [0,\infty)$ una medida, el empuje de $f_*(\mu):\mathscr{G} \to [0, \infty)$ se define como $f_*(\mu)(G)=\mu f^{-1}(G).$

¿Es esta terminología una coincidencia o se trata de un ejemplo de objeto universal de alguna categoría? Si es así, ¿en qué categoría y por qué es universal?

Answer 1

Permítanme ampliar el comentario de @tomasz. Considere una categoría $\mathtt{Mes}$ donde los objetos son espacios medibles (conjuntos dotados de $\sigma$ -) y los morfismos son mapas medibles. Para cada objeto $M$ puedes construir otro objeto $\mathcal M(M)$ cuyos elementos son medidas sobre $M$ y el $\sigma$ -es generada por las funciones de evaluación $\theta_A:\mathcal M(M)\to \Bbb R$ dado por $\theta_A:\mu\mapsto \mu(A)$ para cada subconjunto medible $A$ de $M$ . Puede considerar $\mathcal M$ como un endofunctor en $\mathtt{Mes}$ y su acción sobre los morfismos viene dada exactamente por la construcción pushforward para las medidas.

En cuanto a su pregunta original: Supongo que la noción de pushforward para medidas se llamó así debido a la idea natural de que se empuja la medida de un espacio a otro a lo largo de algún mapa. Sólo tengo conocimientos básicos de teoría de categorías, y no estoy muy familiarizado con las construcciones pushout y pullback en su entorno general, sin embargo, por lo poco que sé, parece que los pushouts se aplican a menudo para formalizar la idea de pegar conjuntos. En ese caso, aunque exista una categoría para la que el pushforward de medida se describa como un pushout teórico de la categoría, me temo que puede ser una construcción bastante artificial y sin mucho sentido. En cierto sentido, la denominación puede ser, en efecto, una mera coincidencia, lo que no excluye todavía la posibilidad de una conexión, sólo que tal vez esta conexión sea artificial y puramente técnica, existente debido a otra coincidencia.