¿En qué sentidos puede existir una integral?

Question

He preguntado por el valor de una integral aquí:
Duro integral que la norma CAS se equivoca totalmente

La pregunta fue rechazada y votada para cerrarla porque no entendí (y no fui capaz de responder) la siguiente pregunta:

¿En qué sentido se supone que existe la integral?

Entonces, ¿en qué sentido pueden existir las integrales? ¿Cuáles son las opciones en este caso?

Answer 1

Además de otras respuestas útiles... Antes de dar el ejemplo estándar de una integral cuya convergencia es problemática, pero que tiene algún sentido... deberíamos preguntarnos qué es lo que esperamos de las "integrales" hacer , lo que propiedades el proceso debería tener. Por ejemplo, la "integración" no debería producir simplemente resultados numéricos aleatorios. ¿Y qué funciones, en qué intervalos, deberían ser entradas aceptables? Como mínimo, si $f,g$ son aceptables, entonces las combinaciones lineales $af+bg$ debe ser, y, dejando $I$ denotan el procedimiento de integración, $I(af+bg)=aI(f)+bI(g)$ . ("Linealidad".)

La integración de Riemann funciona mejor en finito intervalos con funciones casi continuas, mientras que la integración de Lebesgue se adapta a funciones muy discontinuas, etc. En ambos casos, la integral de $f$ en un conjunto o intervalo es un límite de sumas finitas, y el montaje del juego consiste en demostrar que estos límites existirán (¡y serán números finitos!) bajo varios supuestos sobre $f$ .

Un ejemplo estándar más sencillo y similar al de tu otro post es $\int_0^\infty \sin(x^2)\;dx$ . Esto tiene la inquietante característica de que la función no va a $0$ en el infinito, por lo que si pensamos en el criterio de Cauchy para la convergencia de un serie (en lugar de la integral), podríamos concluir que esta divergiría, lo que significa que $\lim_N \int_0^N \sin(x^2)\;dx$ puede ser $\pm\infty$ ? ¿O no existe? Sin embargo, la oscilación produce la suficiente autocancelación como para que esto no ocurra. De hecho, cambiando las variables, sustituyendo $x$ por $\sqrt{x}$ da la integral $\int_0^\infty {\sin(x)\over \sqrt{x}}\;dx$ . Ahora, al menos mira como si decayera en el infinito, y todavía hay cancelación debido a la oscilación. De hecho, el límite puede ser evaluado por varios trucos: Creo que es $\pi/2$ o algo similar.

En circunstancias más sofisticadas, a menudo ocurre que "una integral" no debe tomarse literalmente, sino sólo para indicar la estructura de alguna operación sobre las funciones. El caso básico es el de las transformadas de Fourier o Laplace sobre la recta real. Transformadas de Fourier expresadas como integrales $\hat{f}(\xi)=\int_{\mathbb R} e^{-i\xi x}\,f(x)\;dx$ tienen más sentido para $\int_{\mathbb R} |f(x)|\;dx<\infty$ pero, de hecho, a través del teorema de Plancherel para las transformadas de Fourier, sabemos que $\int_{\mathbb R} \hat{f}(\xi)\;\hat{g}(\xi)\;dx=\int_{\mathbb R}f(x)\,g(x)\;dx$ (tal vez hasta un múltiplo constante), por lo que existe una extensión única de la transformada de Fourier a las funciones cuadradas-integrables $f$ , es decir, tal que $\int_{\mathbb R}|f(x)|^2\;dx<\infty$ . Esta extensión tiene la misma propiedades como la transformada de Fourier que es literalmente una integral, pero que no está del todo dada por esa integral.

Del mismo modo, las transformadas de Fourier pueden extenderse a las "funciones generalizadas" ("templadas") (="distribuciones", no en el sentido probabilístico), de una manera totalmente sensata estructuralmente pero en la que las integrales son salvajemente no convergentes. Por ejemplo, $\int_{\mathbb R} x^n\cdot e^{-i\xi x}\;dx$ no converge en absoluto, pero por otros medios podemos concluir que es (un múltiplo constante de) el $n$ derivada de la distribución delta de Dirac.

Y, por si había alguna duda, los sistemas de álgebra computacional tienen sus limitaciones, especialmente al tratar con integrales "divergentes" (¡no dóciles numéricamente!).

Answer 2

Básicamente, el Definitivamente (Riemann) integral $\int_a^b f(x)\,\mathrm dx$ existe si, bueno, $f$ es integrable de Riemann. La clase más importante de funciones integrables de Riemann son las funciones continuas. Su ejemplo es una incorrecto integral, es decir, uno o (en su caso ambos) extremos son infinitos, y eso sólo puede ser evaluado en el sentido de $$\tag1\int_{-\infty}^\infty f(x)\,\mathrm dx:=\lim_{a\to-\infty\atop b\to+\infty}\int_a^bf(x)\,\mathrm dx$$ (Hay otros casos de improcedencia, por ejemplo, cuando $f$ no es continua en $a$ y/o $b$ y de nuevo hay que tomar un límite de integrales definidas). Aunque $f$ es continua y, por tanto, todos los $\int_a^b$ existe, el límite (doble) es una cuestión completamente diferente.

También es posible que desee echar un vistazo a la integral de Lebesgue, una teoría de integración diferente altoether que maneja algunos problemas de la integral de Riemann con una sistemática diferente. Lebesgue trata la integral "de una vez" pero requiere algunas otras condiciones para tratar funciones oscilantes (como la tuya), a saber, que $\int_{-\infty}^\infty|f(x)|\,\mathrm dx$ ser finito, lo que no es el caso de su ejemplo.

Answer 3

La función que está considerando, $$ f(x):=\exp \left ( i\left ( ax^3+bx^2 \right ) \right ), $$ no es integrable por Lebesgue en $(-\infty,\infty)$ , como $|f(x)|=1$ para todos $x\in(-\infty,\infty)$ . Sin embargo, el límite $$ \lim_{M,N\to\infty}\int_{-M}^Nf(x)\,dx $$ existe. Esto se llama una integral impropia.

Answer 4

Bueno, hay una definición sencilla: una integral $\int_{a}^{\infty} f(x)\;dx$ existe $\Leftrightarrow$ la serie $\sum_{n=a}^{\infty} f(n)$ converge. Lo difícil puede ser demostrarlo. Utilice una prueba de convergencia para demostrar si converge o no.

Para las integrales con ambos límites de integración infinitos debes buscar el Teorema del Residuo.