Por qué existen enteros $b,c$ tal $a=b+c$

Question

Dejemos que $p$ es un número primo, y $p>5,p\equiv 1\pmod 4$ , definimos:un número entero $a$ se llama residuo cuadrático modulo $p$ .:si existe un número entero $x$ tal que: $$x^2\equiv a\pmod p$$

demuestran que: para cada número entero $a$ existe un número entero $b,c$ tal $$a=b+c$$ y $b,c$ residuos no cuadráticos modulo $p$

Answer 1

Supongamos que $r$ es tal que ambos $r,r+1$ no son residuos cuadráticos. Supongamos también que $s$ es tal que ambos $s,s+1$ son residuos cuadráticos.

Ahora bien, si $a$ es un residuo cuadrático, podemos escribir $a=b+c$ donde $b=(r+1)a$ y $c=-ra$ ; si $a$ es un no-residuo, escribe $a=b+c$ , donde $b=(s+1)a$ y $c=-sa$ .

Utilizamos el hecho de que $-1$ es un cuadrado para los primos que son $1 \pmod 4$ y que la reciprocidad es multiplicativa.

También tales $r,s$ existen, porque de lo contrario eso significaría que los números hasta $p$ son alternativamente residuos y no residuos; esto no puede ocurrir porque hay cuadrados pares e Impares, por ejemplo: $1$ y $4$ .