¿Qué ocurre con mi solución? $\int \cos^2 x \tan^3x dx$

Question

Estoy tratando de hacer este problema totalmente por mi cuenta pero no puedo obtener una respuesta adecuada por alguna razón

$$\begin{align} \int \cos^2 x \tan^3x dx &=\int \cos^2 x \frac{ \sin^3 x}{ \cos^3 x}dx\\ &=\int \frac{ \cos^2 x\sin^3 x}{ \cos^3 x}dx\\ &=\int \frac{ \sin^3 x}{ \cos x}dx\\ &=\int \frac{ \sin^2 x \sin x}{ \cos x}dx\\ &=\int \frac{ (1 -\cos^2 x) \sin x}{ \cos x}dx\\ &=\int \frac{ (\sin x -\cos^2 x \sin x) }{ \cos x}dx\\ &=\int \frac{ \sin x -\cos^2 x \sin x }{ \cos x}dx\\ &=\int \frac{ \sin x }{ \cos x}dx - \int \cos x \sin x dx\\ &=\int \tan x dx - \frac{1}{2}\int 2 \cos x \sin x dx\\ &=\ln|\sec x| - \frac{1}{2}\int \sin 2x dx\\ &=\ln|\sec x| + \frac{\cos 2x}{4} + C \end {Alinee el} $$

Esta es la respuesta equivocada, han fui a través y de nuevo y todo parece correcto para mí.

Answer 1

Una manera muy sencilla de comprobar si la respuesta a una integral indefinida es correcto es diferenciar la respuesta. Si usted obtiene la función original, su respuesta es correcta, y es igual a una constante, con cualquier otra solución.

Tenemos $$\begin{align*} \frac{d}{dx}\left(\ln|\sec x| + \frac{\cos 2x}{4} + C\right) &= \frac{1}{\sec x}(\sec x)' + \frac{1}{4}(-\sin(2x))(2x)' + 0\\ &= \frac{\sec x\tan x}{\sec x} - \frac{1}{2}\sin(2x)\\ &= \tan x - \frac{1}{2}\left(2\sin x\cos x\right)\\ &= \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x\cos x\\ &= \frac{ \sin x - \sin x\cos^2 x}{\cos x}\\ &= \frac{\sin x(1 - \cos^2 x)}{\cos x}\\ &= \frac{\sin^3 x}{\cos x}\\ &= \frac{\sin ^3 x \cos^2 x}{\cos^3x}\\ &= \frac{\sin^3 x}{\cos^3 x}\cos^2 x\\ &= \tan^3 x \cos^2 x. \end{align*}$$ Así que su respuesta sea la correcta.

Esto sucede mucho con las integrales de identidades trigonométricas, porque hay un montón de aspecto muy distinto expresiones que son iguales "hasta un constante". Así que la respuesta a $$\int\sin x\cos x\,dx$$ puede ser $\sin^2 x + C$ o $-\cos^2x + C$; ambas correcta, aunque su apariencia es diferente, porque difieren por una constante: $-\cos^2x + C = 1-\cos^2x + (C-1) = \sin^2x + (C-1)$.

Answer 2

Su integral está bien.

$${\ln |\sec x| + \frac{{\cos 2x}}{4} + C}$$

$${\ln \left|\frac 1 {\cos x}\right| + \frac{{1+\cos 2x}}{4} + C}-\frac 1 4$$

$${-\ln \left| {\cos x}\right| + \frac 1 2\frac{{1+\cos 2x}}{2} + K}$$

$${-\ln \left| {\cos x}\right| + \frac 1 2 \cos ^2 x + K}$$

Answer 3

Han sido cosas simplificando hasta línea 6 y luego de vuelta en las complicaciones. Sería natural aviso que $$\sin x dx = -d\left(\cos x\right)$ $ entonces el integral se ve como sigue: $$I=-\int\frac{1-\cos^2x}{\cos x}d\left(\cos x\right)$ $ así que parece que $\cos x$ desempeña el papel de una variable en sí mismo, así que por qué no la deja por ejemplo $t=\cos x$. $$I=-\int\frac{1-t^2}{t}dt=-\int\frac{dt}{t}+\int tdt=-\ln t+\frac{t^2}{2}+C$ $ Ahora enchufe ahora $\cos x$ en su lugar. Reconocer distintos bloques "reutilizables" dentro de la expresión es la forma más natural para llegar a sustituciones útiles.

Answer 4

El cálculo es correcto. Hay muchas formas alternativas de la integral, debido a la infinitamente muchas identidades trigonométricas.

Si usted diferenciar la expresión que tienes y simplificar, verá que está a la derecha.

La respuesta que vimos es probable que también a la derecha. ¿Qué era?

Agregó: Desde $\sec x=\frac{1}{\cos x}$,$\ln(|\sec x|)=-\ln(|\cos x|)$.

También, desde la $\cos 2x=2\cos^2 x -1$,$\frac{\cos 2x}{4}=\frac{\cos^2 x}{2}-\frac{1}{4}$.

Entonces, la respuesta y el libro de respuesta difieren por una constante. Que es cuidado por la constante arbitraria de integración. Como un simple ejemplo, $\int 2x\, dx=x^2+C$ $\int 2x\, dx=(x^2+17)+C$ son correctas.

Answer 5

Observe:

\cos^2 $$ \frac{1}{2} x = \frac{1}{2} \left (\frac {1} {2} + \frac{1}{2} \cos 2x\right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos 2 x $$

Y:

$$-\ln|\cos x | = \ln| (\cos x) ^ {-1} | = \ln|\sec x | $$

Así que tu respuesta es correcta. Sólo se diferencia por una constante de la respuesta que esperas.