Ayudar a campos de comprensión.

Question

Hola chicos tengo una prueba de este martes y estoy dada de la práctica preguntas que hacer , y tengo problemas para entender los campos. Como sé que por definición de lo que son, pero la aplicación de ellos es un poco confuso. esta es la pregunta que tengo.

1) Cual de las siguientes estructuras algebraicas (con las operaciones habituales) son campos? Explicar brevemente.

a) Enteros

b) los números Racionales

c) los números Reales

d) $2 \times 2$ matriz

e) los Enteros Modulo 2

f) de Enteros módulo 4

g) los números Reales modulo $2\pi$

2) Es $\{ a+b2^{\frac{1}{4}} | a,b \in \mathbb{Q} \}$ un subcampo de los números reales? Explique.

Mi intento:

1) Lo que yo sé es que {los números racionales, números reales, números complejos} en el campo, y {$2 \times 2$ matriz} no es un campo.

No estoy seguro de si a, f, g, h son los campos o no.

Sé que para ser un campo de todas las operaciones tienen que ser válido. Quiero decir que a y g en el campo, pero no estoy seguro de por favor, ayudar en eso . Conozco {$2 \times 2$ matriz} no es un campo, porque la división no se aplica.

Si alguien podría explicar que para mí sería realmente útil.

y 2)

Para mostrar esto hice la suma y la resta primero así que vamos a $a,b,c,d \in \mathbb{Q}$ así que vamos a $x=a+b2^{\frac{1}{4}}$ $y=c+d2^{\frac{1}{4}}$ $x + y = a+b2^{\frac{1}{4}} + c+d2^{\frac{1}{4}}$ lo que implica que $(a+c) + (b+d)2^{\frac{1}{4}}$ que es buena. y lo mismo aplica para la resta que $x-y = (a-c) +(b-d)2^{\frac{1}{4}}$

y ahora para multipication y de la división este es donde me confundí. Tengo la sensación de que no es un subcampo, pero no su trabajo para multipication me estoy haciendo una variable adicional de lo que hice para multipication se si

$x \times y = (a+b2^{\frac{1}{4}}) \cdot (c+d2^{\frac{1}{4}})$ que implica al simplificar $ac + (ad+bc)2^{\frac{1}{4}} + bd\sqrt{2}$ y eso no es de nuestra propiedad. así que no sé por favor, ayudar.

Cualquier ayuda o sugerencias serán bienvenidos.

Muchas gracias guyss

Answer 1

Para estas preguntas, me podría asesorar de ir abajo en esta lista.

1. ¿Cuáles son las dos operaciones? Es el anillo cerrado bajo las dos operaciones?
2. Ambos son operaciones conmutativas?
3. Cada operación tiene una identidad?
4. ¿Cada elemento tiene un inverso en cada operación?

Aquí, parece que cada caso tiene un 'claro' par de operaciones con identidad. Pero no cada par es conmutativa (matrices). No todos los pares cerrado (sugerencia). Y no la operación inversa (sugerencia).

En los comentarios, ustedes han visto que los enteros no son un campo porque el elemento $3$ no tiene un inverso multiplicativo en el ring, por ejemplo.

En un sentido, he abrazado el " todo elemento distinto de cero es una unidad de la idea de un campo. Pero también se puede demostrar que algo no es un campo de búsqueda de cero divisores, es decir, un par de cero números cuyo producto es igual a cero. No siempre es bueno hacerlo, pero a veces es claro que tal cosa existe. (Recordemos que cero divisores no pueden ser unidades)