Es este teorema ya en existencia?

Question

Se me ocurrió este teorema (mostrado abajo) hace un par de meses, y no he sido capaz de encontrar nada parecido en la web. Este teorema se le dará a usted la expresión cuadrática de que los resultados de $(x-(a+bi))(x-(a-bi))$. Este teorema es útil para encontrar todas las raíces de una expresión cuando se administra un complejo de raíz (porque complejas raíces vienen en el conjugado de a pares, ¿recuerdas?). ¿Alguien puede decirme si esto es noticia vieja, o si he descubierto algo?

Un poco de contexto:
Yo soy el alumno, no el profesor. Mi maestro (que, por CIERTO, ella es mi Mamá, ya estoy en casa) está tratando de llegar a mí para volver a demostrar en todo momento.

Básica Teorema (que si no tiene un nombre, voy a llamar a Smith Producto de Complejo Conjugado Raíces Teorema. Un poco larga, ¿no crees?):

$(x-(a+bi))(x-(a-bi)) = x^2-2ax+a^2+b^2$

Prueba 1:

$(x-(a+bi))(x-(a-bi))$

$(x-a-bi)(x-a+bi)$

$x^2-ax+bxi-ax+a^2-abi-bxi+abi-b^2i^2$

$x^2-2ax+a^2-b^2i^2$

$x^2-2ax+a^2+b^2$

Prueba 2:

$(x-(a+bi))(x-(a-bi))$

$(x-a-bi)(x-a+bi)$

$((x-a)-bi)((x-a)+bi)$

$(x-a)^2-b^2i^2$

$(x^2-2ax+a^2)+b^2$

$x^2-2ax+a^2+b^2$

Answer 1

Mientras que debe ser alentado de que usted alcance sus propios resultados y formas de pensar, debes ser más cuidadoso acerca de la importancia (?) de los resultados a alcanzar, los demás que a ti mismo.

Tu pregunta puede tener muchas interpretaciones, realmente: un emocionado estudiante que intenta llegar a sus propias conclusiones, un arrogante estudiante, un estudiante independiente, etc.

Pero, respondiendo a tu pregunta: No, no hay un nombre para esto. Este es un trivial consecuencia de las propiedades básicas de la multiplicación y de los números complejos.

Answer 2

La prueba es correcta. Sin embargo, esto es muy raro para ser un verdadero teorema, debido a que es sólo simple binomio de multiplicación. Esto es similar a la prueba de un teorema como "Teorema de Adición", que establece que 1+5=6. (Nota: yo no uso 1+1=2 porque Peano y tal.)

Answer 3

Es un hecho bien conocido (incluso en la Escuela secundaria) que si $u$ $v$ son las raíces de segundo grado, monic polinomio, entonces el polinomio es $$X^2-sX+p$$ donde $s$ $p$ son, respectivamente, $u+v$$uv$. Su "teorema" es una consecuencia trivial de este.

Answer 4

Usted consigue el resultado mucho más rápido si se establece $z=a+bi$, lo $\bar{z}=a-bi$, el complejo conjugado. Entonces $$ (x-(a+bi))(x-(a-bi))=(x-z)(x-\bar{z})=x^2-(z+\bar{z})x+z\bar{z} $$ Desde $z+\bar{z}=2a$$z\bar{z}=|z|^2=a^2+b^2$, la forma final de la expresión es $$ x^2-2ax+a^2+b^2 $$

Usted puede observar también que si usted tiene un polinomio $x^2-2ax+q$ con discriminante negativo, por lo $a^2-q<0$, se puede establecer $b=\sqrt{q-a^2}$ e lo $q=a^2+b^2$. Luego el polinomio es $$ (x-z)(x-\bar{z}) $$ donde $z=a+bi$.