Es la función $f:\mathbb C-\{0\}\rightarrow\mathbb C$ prescrito por $z\rightarrow \large \frac{1}{z}$, por definición, discontinua en $0$?

Question

Es la función $f:\mathbb C-\{0\}\rightarrow\mathbb C$ prescrito por $z\rightarrow \large{\frac{1}{z}}$, por definición, discontinua en $0$?

Personalmente, yo diría: "no". En mi opinión, una función sólo puede ser (dis)continua en $z$ si $z$ pertenece a su dominio.

Pero he escuchado a otros sonidos, que me hizo curioso.

Esta pregunta fue inspirado por los comentarios/respuestas en esta pregunta.

Answer 1

Sospecho que no hay un acuerdo universal entre diferentes fuentes. Pero, por ejemplo, Rudin los Principios (p. 94) dice: "Si $x$ es un punto en el dominio de la función $f$ a que $f$ no es continua, podemos decir que $f$ es discontinua en $x$, o que $f$ tiene una discontinuidad en $x$". Él no menciona nada acerca de los puntos que no están en el dominio de $f$, pero esta omisión especie de implica que para tales puntos de ninguno de los términos continua o discontinua , se debe aplicar.

Creo que esta práctica tiene mucho sentido, ya que su ejemplo de la función es continua (continua en todos los puntos de su dominio), y permitiendo que las funciones continuas tener discontinuidades sería extraño, ¿no? (Singularidad es una palabra mejor en este caso.)

Answer 2

Para una función de $f$ ser continua en un punto a $a$, debe tener $a\in\text{dom}(f)$. La función que usted cita es continua en el plano perforado.