La siguiente declaración es un ejercicio en el conjunto de puntos de topología: Si $E \to X$ es una cubierta con finito no vacío de fibras y $X$ es compacto, entonces también se $E$ es compacto. Ahora Grothendieck generalizada abarca la teoría, para que, en particular, separables campo de extensiones puede ser considerado como revestimiento.
Pregunta: ¿Cuál es la instrucción correspondiente en la teoría del campo?
Responder a Martin preguntas en sus comentarios de Rayleigh respuesta:
Fijar un esquema de $S$ y una adecuada morfismos $f:X\to Y$ $S$- esquemas. Supongamos que $Y$ es adecuada sobre $S$. Si $f$ es correcta, a continuación, $X$ es adecuada sobre $S$. Esto es simplemente porque adecuada morfismos son estables en virtud de la composición.
¿Cómo hace uno para demostrar que la adecuada morfismos son estables en virtud de la composición? Uno simplemente demuestra esta propiedad para finitos tipo de morfismos de esquemas y separados de morfismos. Luego ya está.
Si nos atenemos a los campos, todos los morfismos son separados, para demostrar que la adecuada morfismos son estables bajo de la composición en este caso, usted simplemente tiene que probar que si usted tiene una torre de $K\subset L\subset M$ finito de grados de campo de extensiones, $K\subset M$ es de grado finito. Esto es fácil de hecho. En conclusión, la prueba de la declaración para los campos es fácil y la declaración en sí no da no trivial de información en el caso de los campos.
Creo que Rayleigh añadido la hipótesis adicionales de "finito etale" su declaración, porque quería imitar la puesta en marcha de un "revestimiento".
Fijar un esquema de $S$.
Deje $f:X\longrightarrow Y$ ser finito etale de morfismos de $S$-planes, con $Y$ integral $S$-esquema.
Tenga en cuenta que $f$ es adecuado.
Por lo tanto, si $Y$ es adecuada sobre$S$, $X$ es también adecuada sobre $S$.
Esto es (creo) el análogo de la declaración en su pregunta. (Tome $S$ a ser el espectro de un campo.)
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