¿Por qué la diferenciación de las reglas? ¿Cuál es la intuición detrás de ellos? (No pedir pruebas)

Question

La diferenciación de las reglas de me ha estado molestando desde que tomó Básicas de Cálculo. He pensado que me gustaría desarrollar algún comprensión intuitiva de ellos con el tiempo, pero hasta ahora todos mis otros cursos de matemáticas (incluyendo Cálculo Multivariable) adoptar las reglas para concedido.

Sé cómo probar algunas de las reglas. El problema es que el álgebra de manipulación por sí sola no es bastante convincente para mí. Hay alguna posibilidad de entender por qué el álgebra pasa a trabajar de esa manera? Por ejemplo, ¿por qué las pistas de la línea tangente a la parábola x^2 pasar a ser determinado por el 2x? Mirando gráficamente, no hay manera de que me podría haber dicho eso.

Las fuentes a las que cubren este tema (libros, sitios de internet, etc) sería muy apreciada. Gracias de antemano.

Answer 1

La clave de la intuición, la primera de todas, es que el producto de dos pequeñas diferencias es insignificante. Usted puede intuir que esta haciendo cálculos:

$$3.000001 \cdot 2.0001 = 6.0003020001$$

Si estamos haciendo ningún tipo de redondeo de la mano de cómputos, nos gustaría probable ronda de distancia que $0.0000000001$ parte. Si estaban haciendo los cálculos a ocho dígitos significativos, con un valor de $v$ es realmente un valor en un rango de aproximadamente de $v\left(1 \pm 10^{-8}\right)$ y el error, cuando se multiplica $v_1$ por $v_2$ es casi en su totalidad de $10^{-8}|v_1v_2|$. La otra parte de que el error es tan pequeño que probablemente iba a ignorarlo.

Caso: $f(x)=x^2$

Ahora, considere la posibilidad de un cuadrado con esquinas $(0,0), (0,x), (x,0), (x,x)$. Crecer $x$ un poco, y ver el área crece proporcionalmente con el tamaño de dos de los bordes, además de una pequeña plaza. Ese pequeño cuadrado es insignificante.

Este es un poco más difícil de visualizar para $x^n$, pero en realidad funciona de la misma manera cuando $n$ es un número entero positivo, considerando un $$n-dimensional hipercubo.

Este geométrica de razón es también la razón de la circunferencia de un círculo es igual a la derivada de su área – si aumenta el radio de un poco, el área se incrementa en aproximadamente que "poco" a veces la circunferencia. Así que la derivada de $\pi r^2$ es la circunferencia del círculo, $2\pi r$.

Es también una forma de entender la regla del producto. (O, de hecho, el papel de ALUMINIO.)

Caso: la regla de La cadena

La regla de la cadena es mejor visto por considerar una extraña forma de hidromasaje. Vamos a decir que cuando el volumen de agua en un tubo es de $v$, a continuación, la bañera se llena de profundidad $h(v)$. A continuación, supongamos que tenemos una manguera que, entre el tiempo $0$ y $t$, ha enviado un volumen de $v(t)$ de agua.

En el tiempo $t$, ¿cuál es la tasa a la que la altura del agua está aumentando?

Bien, sabemos que cuando el volumen actual es de $v$, entonces la velocidad a la que la altura es el aumento es de $h'(v)$ veces la tasa que el volumen está aumentando. Y la tasa que el volumen es el aumento es de $v'(t)$. Por lo que la tasa de la altura es el aumento es de $h'(v(t)) \cdot v'(t)$.

Caso: la función Inversa

Este es el único caso en el cual es evidente en el gráfico. Al voltear a las coordenadas de un plano Cartesiano, una línea de pendiente $m$ que se le envía a una línea de inclinación de una pendiente de 1 $/m$. Así que si $f$ y $g$ son funciones inversas, entonces la pendiente de $f$ en $(x,f(x))$ es la inversa de la pendiente de $g$ en $(f(x),x)=(f(x),g(f(x)))$. Por lo que $g'(f(x))=1/f'(x)$.

$x^2$ revisited

Otra manera de lidiar con $f(x)=x^2$ es pensando otra vez en la zona, pero pensando en términos de unidades. Si tenemos un cuadrado que es de $x$ centímetros, y queremos cambiar eso por una pequeña cantidad, $\Delta x$ centímetros, entonces el área es de $x^2\mathrm{cm}^2$ y se va a un aproximado de $f(x+\Delta x)-f(x)=f'(x)\Delta x$.

Por otro lado, si medimos el cuadrado en metros, tiene de longitud lateral $x/100$ metros y área $(x/100)^2$. El cambio en la longitud lateral es de $(\Delta x)/100$ metros. Así que la espera área de cambio es de $f'(x/100)\cdot (\Delta x)/100$ de metros cuadrados. Sin embargo, esta diferencia debe ser el mismo, así $$f'(x)\Delta x = f'(x/100)\cdot\frac{\Delta x}{100}\cdot \left(100^2 \text{m}^2/\text{cm}^2\right) = 100 f'(x/100)$$

De manera más general, entonces, vemos que $f'(ax)=af'(x)$ cuando $f(x)=x^2$ por el cambio de unidades de centímetros a una unidad que es de $1/$ centímetros.

Así, vemos que $f'(x)$ es lineal, aunque no explica por qué $f'(1)=2$.

Si haces lo mismo por $f(x)=x^n$, con unidades $\mu$ y otra unidad $\rho$ donde $\rho = \mu$, entonces se obtiene que el cambio en el volumen cuando se cambia por $\Delta x\,\mu$ es $f'(x)\Delta x\,\mu^n$. También es $f'(ax)\cdot(\Delta x)\,\rho^n$. Desde $\mu/\rho =$, esto significa que $f'(ax) =a^{n-1}f'(x)$.

De nuevo, todavía no sabemos por qué $f'(1)=$ n, pero sabemos que $f'(x)=f'(1)x^{n-1}$.

Answer 2

Para los primeros cien años o así, antes de que la gente formalizado la diferenciación y la integración mediante el uso de límites, el general de la intuición detrás de tomar la derivada de $f(x)$ era, "Vamos a añadir un pequeño incremento a $x$ y ver cuánto $f(x)$ cambios."

El "pequeño incremento" se llama $o$ (letra minúscula O), al menos por algunas personas.

Por $f(x) = x^2$, por ejemplo, se puede mostrar que $$f(x + o) = (x + o)^2 = x^2 + 2xo + s^2 = f(x) + 2xo + s^2.$$ Así que la cantidad de "cambio" en $f(x)$ es $2xo + s^2$, que es de $2x + o$ veces la cantidad por la que cambió de $x$. Y luego el de los matemáticos dicen que sólo el $2x$ parte de $2x + o$ asuntos, desde $o$ es "infinitamente pequeños".

Creo que para la mayoría de la diferenciación de las reglas desarrolladas en aquel entonces (que puede ser todo lo que usted verá en la mesa de derivados en un elementales de cálculo del libro), la intuición fue a hacer la media aritmética. Lo que hicieron no fue gravar que la aritmética con todos los el extra de los mecanismos necesarios para establecer un límite, ya que el estándar-enfoque de análisis de la actualidad.

Por otro lado, la aritmética generalmente iba de la mano con problemas prácticos (por lo general en lo que podríamos considerar la física o la ingeniería) que la gente quería resolver. La gente también tiende a hacer una conexión entre la aritmética y la la geometría, por lo que la vinculación de la función $f(x) = x^2$ para el área de un cuadrado de lado $x$, habría sido una cosa obvia (y la visualización de Thomas Andrews, la respuesta habría trabajado muy bien, creo).

Por ejemplo, visualizar una partícula a lo largo de una pista circular a una velocidad constante. De hecho, hacer el recorrido circular ser el círculo dado por $x^2 + y^2 = 1$ en el plano Cartesiano. (Poner todo en coordenadas Cartesianas fue toda la rabia cuando el cálculo era joven.) A continuación, puede ver (por simetría, o por otros argumentos) que la dirección de la partícula que está pasando es siempre perpendicular a la dirección en la que la partícula se encuentra desde el centro del círculo en ese momento. Así que si el ángulo de la partícula en ese instante es $\theta$, $x$de coordenadas de la partícula es de $\sin\theta$, pero el vector de velocidad de la flecha está apuntando en una dirección $\frac\pi2$ radianes "por delante" de $\theta$, y si dejamos que $\theta$ aumento en la tasa de $1$ radianes por unidad de tiempo de la magnitud de la velocidad es de 1$$, por lo que su $x$coordenada es de $\sin\left(\theta + \frac\pi2\right) = \cos\theta$, cual es la derivada de $\sin\theta$ cuando $\theta$ se mide en radianes.

Answer 3

Derivado es el estudio de la aproximación lineal. Por ejemplo, $$ (x+\delta)^{2}=x^{2}+2x\delta + \delta^{2}. $$ El término lineal tiene pendiente $2x$ en $x$, que es el coeficiente del término lineal en $\delta$. El término lineal es la derivada: $$ f(x+\delta) = f(x)+f'(x)\delta+\mbox{de orden superior a $\delta$} $$ Así, por ejemplo, la derivada de $fg$ se obtiene mediante la búsqueda de los términos lineales en \begin{align} (fg)(x+\delta) &=\{ f(x)+f'(x)\delta+\cdots\}\{ g(x)+g'(x)\delta+\cdots\} \\ y = f(x)g(x)+\{f(x)g'(x)+f'(x)g(x)\}\delta+\cdots \end{align} $$ \implica (fg)'(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x). $$

Answer 4

La intuición para eso me molestó por un tiempo demasiado cuando me enteré de que. El argumento estándar basado en los límites y pensar sobre los pequeños cambios que parecía muy mecánico y carente de visión.

Dado que la regla de la cadena parece muy intuitiva para mí, lo que finalmente me satisfizo fue el siguiente argumento (se requiere una cantidad muy pequeña de multivariable calc/álgebra lineal), $$\text{multidimensional de la regla de la cadena} \implica (\text{derivados de }x^2) =2x.$$ Específicamente, tome las siguientes funciones $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^2$ y $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $g$ ascensores $x$ en 2 dimensiones, haciendo una copia de la misma, entonces $f$ trae de vuelta a una dimensión por la multiplicación de los dos copias, \begin{align} g(x) &:= \begin{bmatrix}x \\ x\end{bmatrix}, \quad\quad g'(x) = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix} \\ f(x,y) y:= x\cdot y, \quad\quad f'(x,y) = \begin{bmatrix}y & x\end{bmatrix} \end{align} La composición de estas funciones es la 1D de la función que queremos, $$f(g(x)) = x^2.$$ Por la regla de la cadena, la derivada de la composición es la composición de los derivados, que es, $$(f \circ g)'(x) = f'(x,x) \circ g'(x) = \begin{bmatrix}x & x\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix} = 2x.$$

La misma técnica (capacidad de elevación de dimensiones superiores + regla de la cadena) también explica la regla del producto en general.

Answer 5

$$x^n = \underbrace{x\times x\times\cdots\veces x}_{\text{n factores}}$$

Si reemplaza $x\longrightarrow x + dx$, el trabajo y el producto, entonces el término proporcional a $dx$ será $n x^{n-1}dx$ porque si tienes que elegir un $dx$ de un factor que no se puede escoger $x$ de allí y no hay $$ n de lugares que usted puede elegir para escoger su $dx$ plazo.