¿Qué aspecto tendrá un círculo considerando esta función de distancia?

Question

Estoy trabajando en algunos ejercicios del libro Geometría: Un enfoque métrico con modelos por R.S. Millman. Define el siguiente mapa: $$d_S(P,Q):\mathbb R^2\times\mathbb R^2\to\mathbb R\\\ d_S(P,Q)=\max\{~|x_2-x_1|,~|y_2-y_1|~\}$$ donde en $P(x_1,y_1),~Q(x_2,y_2)$ son puntos en $\mathbb R^2$ y luego quiere que el lector demuestre que $d_S$ es una función de distancia en $\mathbb R^2$ .

Estaba pensando en cómo se vería un círculo con respecto a esta función en el plano cartesiano. Fijé un punto, por ejemplo el origen, como centro y luego sondeé el caso con una constante positiva dada $r$ como un radio. Sólo tengo dos horizontes $|y|=r$ o dos verticales $|x|=r$ líneas. los resultados no tenían buen gusto. ¿Alguna ayuda? ¿He acertado? Gracias

Answer 1

Sí. Lo que has obtenido es correcto. En general, el $p$ -métrico, donde $p \geq 1$ se define como $$d_S(P,Q) = \left(\vert x_2 - x_1 \vert^p + \vert y_2 - y_1 \vert^p\right)^{1/p}$$ Ahora es fácil demostrar que como $p \to \infty$ obtenemos la métrica $\max\{|x_2-x_1|,|y_2-y_1|\}$ . Ahora puede utilizar un software de trazado y ver cómo se ve la bola de la unidad para diferentes $p$ 's. Encontrará el for $p=1$ es un diamante y a medida que aumenta $p$ se abarca "más" y "más" región en el plano. Para $p=2$ se obtiene el círculo "habitual" y para $p \to \infty$ se obtiene el "cuadrado de la unidad".

El siguiente diagrama muestra la bola de la unidad para diferentes $p$ 's. El diamante más interno es el caso de $p=1$ que también se conoce como la métrica del taxi. Como $p$ aumenta, el "área" encerrada por la bola unitaria aumenta lentamente. El cuadrado unitario exterior es la métrica que se obtiene cuando se deja $p \to \infty$ es decir, se obtiene la métrica $\max\{|x_2-x_1|,|y_2-y_1|\}$ .

$\hskip0.5in$

Answer 2

Hemos establecido

$$\max\{|x_2 - x_1|, |y_2 - y_1|\} = r$$

con $r > 0$ siendo un "radio".

Tome un centro para el "círculo" - digamos $(0, 0)$ para hacer esto

$$\max\{|x|, |y|\} = r$$ .

Ahora, esto significa que al menos uno de $|x|$ y $|y|$ es $r$ y el otro menos. Así que hay un conjunto de todos $x$ para lo cual $y = r$ y $|x| < r$ que es un segmento de línea horizontal. Para $y = -r$ tenemos otro segmento de este tipo, al otro lado del eje x. Repitiendo para $x = r$ y $|y| < r$ y $x = -r$ y $|y| < r$ obtenemos dos segmentos de línea verticales. En conjunto, obtenemos un cuadrado con longitudes de lado $2r$ .

Answer 3

Sí, el "círculo" en este caso, parece un cuadrado.

Answer 4

El resultado correcto son los cuadrados. Para simplificar, tomemos un círculo centrado en $O=(0,0)$ . Para $P=(x,y)$ , $$d_S(P,0)=\max\{|x|,|y|\}=r$$ si y sólo si $x=\pm r$ y $|y|\leq r$ o $y\pm r$ y $|x|\leq r$ .

Para una bonita foto de Mathematica , corrí

center = {0, 0}; ContourPlot\[ Max\[Abs\[x - center\[\[1\]\]\], Abs\[y - center\[\[2\]\]\]\], 
{x, -2, 2}, {y, -2, 2}\]

que produce