Existe un teorema que afirma que existe esencialmente una estructura suave en $R^n$ para todo n que no sea 4. ¿Alguien sabe dónde puedo encontrar la prueba de esto? No tanto de lo que ocurre en la dimensión cuatro, donde hay infinitos, sino de la unicidad en otras dimensiones? Gracias.
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dave
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Para $n \geq 5$ , esta fue probada por primera vez en Stallings' Los tramos estructura lineal del espacio Euclidiano. Lo que realmente demuestra la PL caso y se aplica el suavizado de la teoría. De todos modos, el Teorema 5.1 de dice
Deje $M^n$ ser un contráctiles variedad diferenciable que es 1-conectado al infinito. Si $n \geq 5$, $M$ es diffeomorphic para el espacio Euclidiano $\mathbb{R}^n$.
Una relacionada con el resultado aparece en Lashof del ICM dirección sobre el suavizado de la teoría. Su Corolario dice
Cada contráctiles abrir topológico colector es smoothable.
y él sigue diciendo que este suave estructura es única si $n \geq 5$.
Para $n = 2,3$, hay Moise, pero sus artículos pueden ser difíciles de leer. Hay ahora más fácil pruebas usando Kirby-Siebenmann técnicas. Para $n = 2$, se puede utilizar Hatcher El Kirby toro truco para superficies. Para $n = 3$, se puede utilizar Hamilton La triangulación de las 3-variedades en la PL caso y aplicar el suavizado de la teoría.
Patrick
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S. K. Donaldson y P. B. Kronheimer. The geometry of four- manifolds. Clarendon Press, Nueva York, 1990.
Michael Freedman y Frank Quinn. Topology of 4-manifolds. Princeton University Press, Princeton, 1990.
Estos son recomendados por Lee en su "Topología de los Múltiples Suaves"
Edwin E. Moise. Geometric Topology in Dimensions 2 and 3. Springer-Verlag, Nueva York, 1977.
James R. Munkres. Obstrucciones a la suavización de homeomorfismos diferenciables. Annals of Math, 72:521-554, 1960.
Estos también son recomendados por Lee como prueba de la afirmación R^n (excepto para 4).
Personalmente no los he leído, pero, por ahora, confío en el criterio de Lee.
jj33
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Puede manejar el caso de $n \leq 3$ uno a la vez, por lo que la pregunta es realmente sobre $n \geq 5$ . Dos nombres importantes en este sentido son Kirby y Siebenmann. El artículo de Wikipedia sobre el Supuesto principal es un buen punto de partida.
Si M es un $n$ -de una variedad topológica (y $n \geq 5$ ), entonces $M$ admite una estructura PL si y sólo si una clase especial de cohomología, la clase Kirby-Siebenmann, en $H^4(M; \mathbb{Z}_2)$ se desvanece. Si esta clase desaparece, entonces las diferentes estructuras PL están parametrizadas hasta la concordancia por $H^3(M; \mathbb{Z})$ . (Nota: El artículo de Wikipedia sobre la Hauptvermutung asume que $M$ es compacto, pero no creo que sea una suposición necesaria).
¿Qué dice esto sobre $M = \mathbb{R}^n$ ? Bueno, ya sabemos que $\mathbb{R}^n$ tiene una estructura PL, y como $H^3(\mathbb{R}^n; \mathbb{Z}_2)=0$ se deduce que esta estructura es única hasta la concordancia. Puesto que la concordancia implica difeomorfismo, y puesto que toda estructura suave nos da una estructura PL, se deduce que sólo puede haber una estructura suave en $\mathbb{R}^n$ hasta el difeomorfismo.
Aquí están las principales referencias (se pueden encontrar ambas aquí ):
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Kirby y Siebenmann, On the triangulation of manifolds and the Hauptvermutung. Bull. Amer. Math. Soc. 75 1969 742--749.
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Kirby y Siebenmann, Foundational essays on topological manifolds, smoothings, and triangulations. Annals of Mathematics Studies 88 (1977). (He investigado un poco en MathSciNet, y los ensayos pertinentes son el IV y el V).
Este El artículo expositivo de Rudyak, que encontré a través de Wikipedia, también parece interesante.
Por último, todo esto lo aprendí del maravilloso libro de Scorpan, "The Wild World of 4-Manifolds".
