Casi pero no del todo un homomorphism

Question

Estoy interesado en general, la heurística donde, para determinados tipos de estructuras algebraicas, se introducen nuevos mapas que son "casi" homomorphisms (o "casi" isomorphisms) pero no es así. Aquí están algunas de las que me he encontrado en la teoría de grupos (y también puede ser utilizado en el anillo de la teoría y la conmutativa/álgebra no conmutativa):

1. Un "pseudo-homomorphism" (a veces también llamado "cuasi-homomorphism"), que es un conjunto de mapas para grupos cuya restricción a cualquier abelian subgrupo es un homomorphism. En otras palabras, si dos elementos que conmutan, entonces la imagen del producto es el producto de las imágenes. Idea General: requieren la composición con ciertos tipos de inyectiva mapas homomorphisms.
2. Un "1-homomorphism", que es un conjunto de mapas para grupos cuya restricción a cualquier subgrupo cíclico es un homomorphism. Idea General: exigir que la restricción a cualquier subalgebra generados por en la mayoría de las $k$ elementos es un homomorphism. Tenga en cuenta que para álgebras define utilizando en la mayoría de los 2-ary operaciones, el único caso interesante es $k = 1$.
3. Un elemento del mapa que envía subgrupos subgrupos. La inducida por el mapa en el entramado de los subgrupos que se denomina un "projectivity". Idea General: Requieren el mapa para inducir un mapa sobre algunos derivados de la estructura (por ejemplo, el entramado de subalgebras) que parece que podría haber venido de un homomorphism.

Mi principal interés es de un grupo de teoría de la perspectiva, pero también me gustaría estar interesado en construcciones de otras estructuras algebraicas.

AÑADIDO POSTERIOR: ha habido un montón de ejemplos interesantes. Mi objetivo original era observar las propiedades de los mapas que podrían considerarse, al menos en principio, entre dos objetos arbitrarios. Preferiblemente, algo que podría estar formado para dar una nueva categoría-de-tipo. Pero ha habido algunos interesantes ejemplos de mapas que ir a la fija a los grupos objetivo y cuya definición utiliza información adicional acerca de la estructura de los grupos objetivo. Estos también pueden ser de interés potencial, así que por favor siéntase libre de dar ejemplos.

Answer 1

Yo no clasificar este como cualquier tipo de respuesta, pero una vez cuando se mira en conjunto de los mapas de un grupo a otro descubrí que esas cosas eran a veces se llama "cerca de los anillos" y otra cosa relacionada con ellos son "la composición de los anillos". Si usted no ha oído los de antes, podría ser digno de mirar para arriba. Al menos, sus mapas serán elementos de algo así como una "cerca del anillo" que satisfacen alguna propiedad adicional.

Answer 2

Deje $G$ $G'$ grupos. Un Freiman homomorphism de orden $s$ $A\subset G$ $G'$es un mapa de $\phi\colon A\to G$ tal $$\phi(a_1)\phi(a_2)\cdots\phi(a_s)=\phi(a_1a_2\cdots a_s)$$ for any $s$ (not necessarily distinct) elements $a_1,a_2,\ldots,a_s\en$. The Freiman homomorphism are the correct notion of equivalence between sets in additive combinatorics. For example, if $$ and $B$ are Freiman $2$-isomorphic, then $\lvert a+a\rvert=\lvert B+B\rvert$. There are other versions of almost morphisms that arise naturally in combinatorial number theory. For instance, one of the equivalent versions of the polynomial Freiman-Ruzsa conjecture (for $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$) asserts that if $\phi\colon (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n\a (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$ is a map for which $\phi(x+y)-\phi(x)-\phi(y)$ takes only $K$ values, then $\phi$ can be written as $\phi=\phi_0+\psi$ where $\phi_0$ is a genuine linear map, and $\psi$ takes only $K^{O(1)}$ valores.

Otro ejemplo interesante de un `casi morfismos', esta vez en no algebraicas son de Lipschitz mapas entre espacios métricos. Un verdadero morfismos de métrica espacios se supone que es para preservar las distancias, pero hay muy pocos de ellos. Sin embargo, de Lipschitz incrustaciones son mucho más abundantes, y dar lugar a la hermosa geometría, con muchas aplicaciones (en particular en la ciencia computacional teórica).

Answer 3

Hay una construcción de los números reales directamente de los números enteros mediante quasihomomorphisms de la a a la Z. http://www.maths.mq.edu.au/~calle/EffR.pdf

Answer 4

Relacionadas con Henry Wilton comentarios: el siguiente podrían no ser lo que usted está buscando, pero parece muy interesante, dado que la cuasi-morfismos se han mencionado. Lo estoy haciendo de memoria, por lo que si hay un hueco, por favor alguien que me haga saber!

Deje $E$ ser un espacio de Hilbert, $B(E)$ el álgebra de todos los delimitada lineal de operadores en $E$. (Incluso en el caso de $E={\mathbb R}^n$ es de interés). Arreglar un pequeño $\epsilon>0$. Entonces existe $\delta>0$ con la siguiente propiedad:

Deje $G$ ser un grupo abelian, y vamos a $f:G \to B(E)$ ser un delimitada la función (es decir,$\sup_{x\in G} \| f(x) \| < \infty$) que cumple $$ \sup_{x,y}\| f(x)f(y) - f(xy) \| \leq \delta. $$ A continuación, hay algunos representación $\rho: G \to B(E)$ tal que $\sup_x \| f(x)- \rho(x)\| \leq \epsilon$.

Así que, a menos formalmente, delimitada "casi representaciones" de abelian grupos son "casi" genuinas representaciones.

Me imagino que esto puede ser demostrado por un promedio de argumento: la manera en que me enteré de este resultado es un caso especial de uno más general, en el que la palabra "abelian" se sustituye por la palabra "susceptible", y la palabra "de Hilbert" se sustituye por "agradable reflexiva de Banach". Que a su vez es un caso especial de un resultado general en casi multiplicativo de mapas entre álgebras de Banach cumplimiento de determinadas condiciones (debido a la B. E. Johnson).

De todos modos, lo siento, este ha vagado lejos de la pista. El punto fue para decir que hay contextos en los que las cosas que están por grupo homomorphisms $H\to K$, quizás en una pequeña perturbación ser genuino homomorphisms cuando restringida a un determinado abelian subgrupo de $H$. Sin embargo, en general esto no se puede hacer con el fin de trabajar de forma simultánea para todos los abelian subgrupos de $H$.

Answer 5

Esto puede ser aún más lejos: los mapas de preservar o promover la relación, mientras que la "codificación" de la operación básica. Yo vagamente recordar groupoid auto-mapas llamado cryptomorphisms, que tenía algunos bienes como f(a*b)= p(f(a))*p(f(b)) para p y q algunas permutaciones en el set. También, en la clasificación de los cuadrados latinos, hay una cierta noción de isotopía y algunas otras relaciones que permiten una quasigroup tabla de estar relacionado con los demás a través de ciertos mapas.

Hay ejemplos similares donde uno se preocupa por la preservación de algunos de los bienes como esencial arity (por ejemplo, operaciones binarias, que dependen de dos variables), y se insistir en los mapas entre las estructuras que comparten o conservar dicha propiedad. Por desgracia, todo lo que recuerdo por el momento es alguna variante de Mazurkiewicz, que junto con similar nombre de la gente (hablando como un ignorante Americano) utiliza variantes de morfismos para ayudar a estudio groupoids y otras estructuras, en parte, a entender sus espectros (número de álgebras/operaciones/operaciones esenciales en un conjunto subyacente de n elementos, n variables sobre finito de números).

Como un ejemplo de algo que no he visto, pero se puede imaginar: un mapa de la desigualdad, donde el cuidado que f(a*B) <> f(C*D) si a*B <> C*D .

Invito a otros a añadir a este post como los detalles que ocurren y los recuerdos de afilar.

Gerhard "Me Preguntan Sobre El Diseño Del Sistema" Paseman, 2010.02.09