¿Son constantes la energía mecánica de un elemento de una cuerda y la densidad de energía en el caso de las ondas mecánicas?

Question

Estoy confundido sobre la energía impulsada por una onda. Considere una onda sinousoidal que se mueve en una cuerda.

En mi opinión, cada elemento $dm$ de la cuerda sigue un movimiento armónico simple en el tiempo. Eso significa que la energía mecánica $dE=dK+dU$ del elemento único $dm$ es constante .

Sin embargo, el Halliday-Resnik-Krane He encontrado esta explicación.

A pesar de las analogías con el movimiento armónico simple, la mecánica energía del elemento $dm$ no es constante. [...] Eso no es sorprendente ya que el elemento $dm$ no es un sistema aislado y su movimiento es el resultado de la acción del resto de la cuerda sobre él.

Realmente no entiendo cómo puede ser esto posible. Una duda similar es para la densidad de energía por unidad de longitud.

En resumen, he encontrado dos descripciones coincidentes de la energía y la densidad de energía en una onda mecánica sobre una cuerda.

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$1.$ (Este es el que me parece bien) La energía mecánica del elemento único $dm$ de la cuerda es constante e igual a $$dE=\frac{1}{2} dm v_{max}^2$$

A partir de aquí, la densidad de energía lineal, definida como

$$u=\frac{dE}{dx}=\frac{1}{2} \mu \omega^2 A^2$$

es constante .

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$2.$ (Hallyday-Resnik-Krane) La energía mecánica del elemento individual de la cuerda es $$dE=\frac{1}{2} dm (\frac{\partial \xi}{\partial t})^2+\frac{1}{2} T(\frac{\partial \xi}{\partial x})^2 dx $$

( $T$ es la tensión de la cuerda)

La energía mecánica del elemento de masa $dm$ es no constante ya que el elemento no está aislado del resto de la cuerda.

A partir de aquí la densidad de energía lineal es no constante y su expresión es $u=\frac{dE}{dx}$

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¿Cuál de las dos es la correcta y por qué?

En la descripción $2.$ Estoy de acuerdo con la expresión de la energía mecánica, pero no con el hecho de que $dE$ et $u$ no son constantes.

Es la energía mecánica de $dm$ realmente no constante ? Si es así, ¿cuál puede ser la explicación?

¿Está esto relacionado de alguna manera con el hecho de que la energía de una onda no se concentra en un solo punto, sino que se propaga de alguna manera en toda la cuerda continuamente?

Cualquier sugerencia sobre este tema es realmente apreciada.

Answer 1

La energía de un elemento de una onda viajera no es constante. Halliday-Resnick-Krane tiene razón. Para una cadena de densidad $\mu$ y la tensión $T$ la energía cinética de un elemento $dx$ es $$dK=\frac 12\mu dx\left(\frac{\partial \xi}{\partial t}\right)^2.$$ Para la energía potencial tenemos $$dU=Tdl,$$ donde $dl$ es la cantidad estirada de la cadena. Una pequeña sección $dh$ de la cuerda es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con base $dx$ y la altura $\frac{\partial \xi}{\partial x}dx$ . Por lo tanto, la cantidad estirada es $$dl=\sqrt{dx^2+\left(\frac{\partial \xi}{\partial x}\right)^2dx^2}-dx=\frac{dx}{2}\left(\frac{\partial \xi}{\partial x}\right)^2.$$ En la última ecuación despreciamos los términos de orden superior en $\left(\frac{\partial \xi}{\partial x}\right)$ ya que suponemos pequeños desplazamientos. Entonces $$dU=\frac{Tdx}{2}\left(\frac{\partial \xi}{\partial x}\right)^2.$$ Por lo tanto, $$dE=dK+dU=\frac 12\mu \left(\frac{\partial \xi}{\partial t}\right)^2dx+\frac{T}{2}\left(\frac{\partial \xi}{\partial x}\right)^2dx.$$

Para una onda armónica progresiva $\xi(x,t)=A\cos(kx-\omega t)$ obtenemos $$dE=\frac 12\mu\omega^2 A^2\sin^2(kx-\omega t)dx+\frac{1}{2}Tk^2A^2\sin^2(kx-\omega t)dx.$$ Utilizando $v^2=T/\mu$ et $\omega=vk$ obtenemos $$dE=\mu\omega^2A^2\sin^2(kx-\omega t)dx,$$ que no es constante.

Recuerda que la energía es transmitida por la onda a lo largo de la cuerda. La fuente de energía es el oscilador armónico que genera la onda en un extremo de la cuerda. Así que no es un problema que la energía en cada punto no sea constante. Otro punto importante: La razón por la que el resultado es bastante diferente a lo que esperamos cuando pensamos en el movimiento armónico simple (que da energía constante para la partícula) es que el elemento de la cuerda no se mueve sólo transversalmente. Una onda en una cuerda siempre tiene una componente longitudinal. Esto estaba implícito cuando calculamos la energía potencial y asumimos que la cantidad estirada era la $dl=dh-dx$ . Obsérvese que cuando el elemento $dx$ tiene desplazamiento $A$ está en reposo teniendo una energía cinética que se desvanece. Además este elemento no se estira, $\frac{\partial \xi}{\partial x}=0$ , lo que da una energía potencial elástica desvanecida. Esto coincide con la ecuación obtenida para $dE$ .

Answer 2

La segunda derivación es correcta, como explica la Diracología.

Sin embargo, la primera derivación es "más o menos" correcta, en el sentido de que la localización de la energía potencial puede ser ambigua. Por ejemplo, consideremos los tres sistemas siguientes.

• Una masa sobre un muelle estirado.
• Una masa sentada en una mesa.
• Una masa cargada junto a otra carga.

Estos tres sistemas tienen energía potencial elástica, energía potencial gravitatoria y energía potencial eléctrica. Pero en una clase de introducción a la física, obtendrás tres respuestas diferentes si preguntas "dónde" está la energía. En el primer caso, es el muelle; en el segundo, es "el sistema de Tierra y masa"; en el tercero, está "en el campo eléctrico entre ellos".

En los tres casos, mientras no hagamos RG, da igual dónde digamos que se almacena la energía potencial, porque sólo se puede extraer de una manera: moviendo la masa. Puedes decir que la energía potencial se almacena detrás de Júpiter si quieres.

Por eso verás varias convenciones sobre "dónde" se almacena la energía en una cuerda. Sin embargo, en este caso, hay es una respuesta correcta inequívoca, porque una cuerda tiene muchos grados de libertad, a diferencia de una masa. Se puede extraer la energía potencial de la cuerda tomando cualquier sección individual de la misma y desestirándola, lo que implica que la energía potencial $dU$ de un pequeño trozo de cuerda $dx$ está bien definida.

Peor aún, para las ondas no sinusoidales, la primera definición da la respuesta incorrecta. Imaginemos una onda $y(x)$ que tiene $y = 1$ para $0 < x < L$ et $y = 0$ en otro lugar. Según la definición correcta, sólo hay energía potencial en $x = 0$ et $x = L$ . Según la definición incorrecta, la energía potencial total es proporcional a $L$ , lo cual es erróneo.

Un ejemplo aún peor: si sólo sostengo la cuerda en $y = 1$ ¡para siempre, la definición incorrecta dice que la cantidad de energía potencial es infinita! La respuesta correcta es cero.

Answer 3

Ya hay buenas respuestas aquí, pero me temo que hasta donde yo sé, la expresión de la Diracología (y de hecho la de Halliday-Resnik-Krane) de la la energía potencial no es correcta . Me gustaría señalar este documento de Lior M. Burko que se centra en las sutilezas de la derivación de la energía cinética y potencial de la cuerda en su conjunto y de los elementos de pequeña masa de la misma. Del resumen:

Consideramos la densidad de energía y la transferencia de energía en ondas unidimensionales de pequeña amplitud en una cuerda, y encontramos que las expresiones comunes utilizadas en los libros de texto para el curso de introducción a la física con cálculo dan resultados erróneos para algunos casos, incluyendo las ondas estacionarias. Discutimos el origen del problema, y cómo puede corregirse de una manera apropiada para el curso de introducción a la física con cálculo.

Para extraer el resultado de este trabajo, en lugar de

$$dE=dK+dU=\frac 12\mu \left(\frac{\partial \xi}{\partial t}\right)^2dx+\frac{T}{2}\left(\frac{\partial \xi}{\partial x}\right)^2dx$$

debe decir

$$dE=dK+dU=\frac 12\mu \left(\frac{\partial \xi}{\partial t}\right)^2dx+\frac{T}{2} \xi \left(\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}\right)dx$$

Según el documento, las dos expresiones dan el mismo resultado para el contenido energético global de la cuerda, pero las densidades de energía no son las mismas. En la sección IV se demuestra cómo esto soluciona algunos de los problemas de que un elemento no tenga energía constante, en particular para las ondas estacionarias.