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14 votos

Cómo probar que una matriz es nilpotent?

Dado un n×n triangular superior de la matriz A con cero en la diagonal principal, muestran que An=0.

He hecho alguna operación de matriz y se dio cuenta que la diagonal se mueve, en última instancia, todas las entradas será de cero. Hay una manera mejor de hacerlo?

19voto

Lorin Hochstein Puntos 11816

Si e1,,en es el estándar de base para Rn (o lo que su base es de campo), a continuación, observe que Ae1=0, y Aeispan(e1,,ei1),i=2,3,,n.

Ahora muestran que Anei=0 todos los i para obtener la conclusión deseada.

14voto

Davide Giraudo Puntos 95813

Puede ser demostrado por inducción: para n=2 es un simple cálculo. Si el resultado es cierto para n, e A=(Tnv 00) donde Tn n×n triangular de la matriz con ceros en la diagonal principal, a continuación, para cada una de las p1 tenemos Ap=(TpnTp1nv 00). Por lo tanto, para p=n+1 obtenemos An+1=(Tn+1nTnnv 00)=0 (debido a Tnn=0).

11voto

MSalters Puntos 74024

Una n×n triangular superior de la matriz A ha polinomio característico Xn. Por lo tanto, por el teorema de Cayley-Hamilton consigue An=0.

6voto

Anthony Shaw Puntos 858

Supongamos que aij=(A)ij=0 ij bij=(B)ij=0 ijm donde A B n×n matrices. Considerar cuando es posible tener aijbjk0.

Tener aij0 debemos tener i<j (ij1).

Tener bjk0 debemos tener j<km (jkm1).

Por lo tanto, para tener aijbjk0, debemos tener i<km1 (ikm2).

Así, por ikm1 (AB)ik=nj=1aijbjk=0\etiqueta1 La matriz A especificado en la pregunta ha aij=0ij. El uso de (1) e inducción, tenemos que (Am)ij=0ijm+1. Esto significa que (An)ij=0ijn+1, lo que significa que (An)ij=0 todos los 1i,jn.

Por lo tanto, An=0.

4voto

Ben Puntos 116

He aquí una bonita gráfica teórica de la prueba. Dado un n×n matriz A considera el grafo dirigido D(A) n vértices donde vértice i se une con el vértice j con una ventaja de peso aij siempre aij0.

Definir el peso de un pie en D(A) como el producto de todas las entradas en sus bordes. Puede verse fácilmente que el ij entrada de Ak es la suma de los pesos de todos los posibles caminos de longitud k desde el vértice i hasta el vértice jD(A).

Ahora si A es estrictamente triangular superior de la matriz, a continuación, en D(A) hay una arista entre los vértices i y el vértice j si i<j. Por lo tanto, D(A) no contiene ciclos. Y, por tanto, no puede ser de cualquiera de los ámbitos de longitud mayor o igual a nD(A), lo que demuestra que el An=0.

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