Deje $\mathfrak{s} = \mathfrak{s}_0 \oplus \mathfrak{s}_1$ ser una real Mentira superalgebra. (El campo de tierra no importa mucho, pero al menos una fórmula no funcionará como por escrito si la característica es 2 o 3.) Recordemos que esto significa que hay un bilineal 2-graduada de soporte de $[-,-]$ con tres componentes
(a) $\mathfrak{s}_0 \times \mathfrak{s}_0 \to \mathfrak{s}_0$ (skewsymmetric)
(b) $\mathfrak{s}_0 \times \mathfrak{s}_1 \to \mathfrak{s}_1$
(c) $\mathfrak{s}_1 \times \mathfrak{s}_1 \to \mathfrak{s}_0$ (simétrica)
que satisface la identidad de Jacobi, que se divide en 4 componentes, que puede ser parafraseado como
(1) $\mathfrak{s}_0$ es una Mentira álgebra bajo (a)
(2) $\mathfrak{s}_1$ $\mathfrak{s}_0$- módulo bajo (b)
(3) el mapa en (c) es $\mathfrak{s}_0$-equivariant
(4) $[[x,x],x] = 0$ todos los $x \in \mathfrak{s}_1$
El hecho de que los tres primeros componentes se pueden escribir con palabras, mientras que la cuarta es más fácil a través de una fórmula, sugiere que tal vez debería ser tratado de manera diferente.
De hecho, con el tiempo he llegado a través de muchos ejemplos de superalgebras donde los tres primeros componentes de la identidad de Jacobi están satisfechos, pero no el cuarto. Me gustaría llamar 3/4-Mentira superalgebras. Me gustaría saber hasta qué punto puede esta noción de ser empujado y, en particular, cómo gran parte de la teoría de la Mentira superalgebras todavía trabaja en el 3/4 caso.
Para motivar esta aparentemente al azar pregunta, quisiera terminar señalando un ejemplo genérico que puedan surgir. Hay otros, pero son más largos para describir.
Deje $\mathfrak{g}$ ser una métrica Mentira álgebra; es decir, una Mentira álgebra con un anuncio invariante en el interior del producto $(-,-)$ y deje $V$ ser un simpléctica $\mathfrak{g}$-módulo; es decir, uno de los que poseen un $\mathfrak{g}$-simpléctica invariante de la forma $\langle-,-\rangle$. Ahora vamos a $\mathfrak{s} = \mathfrak{g} \oplus V$. A continuación, los mapas (a) y (b) son evidentes: dado por la Mentira de soporte en $\mathfrak{g}$ y la acción de la $\mathfrak{g}$$V$, respectivamente. Mapa (c) es la transpuesta de mapa (b) no utilizar el interior de los productos de $\mathfrak{g}$$V$; en otras palabras, si $x,y \in V$ $[x,y] \in \mathfrak{g}$ está definido por $$([x,y],a) = \langle a\cdot x,y\rangle$$ para todos los $a \in \mathfrak{g}$.
Entonces es fácil ver que $[x,y] = [y,x]$ y que: (1)-(3) son satisfechos, mientras que, en general, (4) es no satisfecho y en su lugar se define una subclase de simpléctica $\mathfrak{g}$-módulos.
